《矩阵分析及其应用》PPT课件

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1、第六章矩阵分析及其应用虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称为“上帝的幽灵”，进而导致“第二次数学危机”，直到柯西的“极限论”和戴德金等的“实数理论”的出现危机才算彻底解决。但微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究，自然就在情理之中。§1、矩阵序列与矩阵级数微积分的基础是数列极限的收敛理论及其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个“超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵级数，只要找到度量两个“超数”距离的适当工具。在矩阵里，这就是范数。尽管使用给定基下的分量和元素等也可以，但明显用范数记号简洁明晰，且有助

2、于证明。一、矩阵序列的收敛性定义1设有中的矩阵序列这里。如果，则称此矩阵序列收敛，其极限为，记为根据矩阵序列收敛性的定义，可证明下列性质。定理2中的矩阵序列分别收敛于，则定理3中的矩阵系列分别收敛于，则定理4中的矩阵序列收敛于，且所有和都可逆，则注意定理中条件“所有和都可逆”必不可少，例如下面的不可逆，虽然可逆，且用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是最常用、最简洁的方法。特别地，若，则的充要条件是定理5中的矩阵序列收敛于的充要条件是对任意一种矩阵范数，都有证明：所以由范数的等价性，对于上任意一个范数，必存在正常数，使由于向量是特殊的矩阵，因此我们有推论1中的向量

3、序列收敛于的充要条件是对任意一种向量范数，都有联想到等比数列收敛当且仅当，类似地，我们有最常见的矩阵序列是方阵的幂构成的矩阵序列。定理6中的矩阵是收敛矩阵，即的充要条件是矩阵的谱半径小于1，即证明：设矩阵的Jordan分解为则从而由定理3可知，这里规定时，由于谱半径不易计算，联系到谱半径不超过任何一种矩阵范数，实际常用范数来判断矩阵是否是收敛矩阵。只有很难找到这样的范数，才计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。定理7中的矩阵是收敛矩阵的充分条件是存在一种矩阵范数，使得二、矩阵级数定义8设有中的矩阵序列，矩阵级数指的是无穷和称矩阵级数收敛，且其和为，如果其部分和序列

4、收敛于，即这是因为显然，矩阵级数收敛时其通项是收敛矩阵，即这个结果与数项级数一致。定义9中的矩阵级数称为绝对收敛的，如果数项级数都绝对收敛。这里定理10中的矩阵级数绝对收敛的充要条件是正项级数收敛，这里矩阵范数是任意的。同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝对收敛可借助范数理论转化为判定正项级数的敛散性。证明：必要性。从而若级数绝对收敛，则都收敛，故所以正项级数收敛。根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项级数收敛。证明：充分性。若级数收敛，则由矩阵范数的等价性可知，正项级数收敛，故所以都收敛，即绝对收敛，因此矩阵级数绝对收敛。定义11中的矩阵级数称为矩阵的幂级数。

5、这里.由前可知矩阵的幂级数是实变量的幂级数以及复变量的幂级数的推广，因此讨论矩阵幂级数的收敛性问题自然就与复变量的幂级数的收敛半径联系起来。定理12设幂级数的收敛半径为，则当时幂级数收敛；当时幂级数发散。证明：设矩阵的Jordan分解为则从而其中这里规定时，绝对收敛，故矩阵幂级数绝对收敛。则当时幂级数当时矩阵必有某个特征值，从而幂级数发散，因此矩阵幂级数发散。绝对收敛，故矩阵幂级数绝对收敛。最后讨论最特殊的诺伊曼(Neumann)级数,即幂级数的收敛半径是，并且收敛于所以我们通过类比可以得到定理13上的诺伊曼(Neumann)级数收敛的充要条件是。并且诺伊曼(Neu

6、mann)级数收敛于定理14对上满足的相容矩阵范数。如果，则有误差估计式定理14的证明需要用到上一章的引理6，即：引理6对，若，则矩阵非奇异，且证明：所以Neumann级数收敛。则由于，由题知两边取范数，并利用引理6，得§2、矩阵函数及其计算矩阵函数在力学、控制理论及信号处理等学科中具有重要应用。类比普通函数，矩阵函数的特殊之处在于其自变量与因变量都是方阵。对应于矩阵函数的多种表示方式(幂级数、Jordan表示、多项式表示、积分表示等)，定义矩阵函数的方式也很多。一、矩阵函数的定义及性质定义1设一元函数可展开为收敛半径为的幂级数，即矩阵的谱半径，则矩阵函数即为相应的

7、矩阵幂级数(收敛时)的和，即在高等数学和复变函数中，有幂级数展开式：相应地，我们有矩阵函数：以及含参数的矩阵函数：根据欧拉公式，可以推出：遗憾的是，指数运算规则一般不成立：例如，令有则可以验证确实两两不等。那么什么条件下指数运算规则成立呢？定理2如果，那么证明：而推论设，则二、矩阵函数的计算由矩阵函数的定义，矩阵函数的计算转化为矩阵幂级数和的计算，主要就是矩阵幂的计算。首先联想到矩阵的对角化问题，即希望利用特征值分解来计算矩阵函数。由于对角矩阵的对角元就是矩阵的特征值，而相似矩阵就是相应的特征向量构成的矩阵。这样对任意矩阵，则可以使用Jordan分解。这两种方法