§4.2相似矩阵及特征值和特征向量的性质

《§4.2相似矩阵及特征值和特征向量的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1§4.2相似矩阵及特征值和特征向量的性质上节引入了特征值和特征向量的概念,那么有什么性质呢?本节讨论他们的性质,并着眼相似矩阵的性质.24.2.1、相似矩阵3相似矩阵与相似变换的性质证明4.2.2、特征值和特征向量的性质5推论若阶方阵A与对角阵6证明则即类推之，有7把上列各式合写成矩阵形式，得8注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．9推论如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关的

2、特征向量．101112注(1)方阵A的主对角线的元素之和称为A的迹。此例表明A的所有特征值之和为A的迹，而A的所有特征值之积为

3、A

4、。(2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件是A的所有特征值都不为零。例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得1415从定义出发省略不讲了16例5设A是阶方阵，其特征多项式为解18证明（用反证法）从定义出发省略不讲了1920212223四、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：24２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过

5、相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成　　　，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．