五年级奥数容斥问题讲座及练习答案

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1、五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-ABAABB（韦恩图）例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。【思路导航】如图所示，完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37+42=79（人

2、），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有：79－48=31（人）37+42－48=31（人）答：语文、数学作业都完成的有31人。想一想：下面算式有何道理？(l)37－（48－42)=31（人）(2)42－（48－37）=31（人）【疯狂操练】：(1）五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？解：语文成绩优秀

3、的有65人，数学优秀的有87人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）答：语文数学都优秀的有30人。(2）四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？解：根据两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人）答

4、：订《数学大世界》的有22人。(3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？解：24+17-8=33（人）答：这个文艺组一共有33人。例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15＝10（人）。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得

5、到至少有一题答对的人数10+23=33（人）。所以，两题都答得不对的有36－33=3（人）。36－［(25－15)+23］=3（人）想一想：下面算式有何道理。(l)36－［(23－15)+25］=3（人）(2)36－［(25－15)+(23－15)+15］＝3（人）【疯狂操练】：(l）五（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？解：19人两个小组都参加则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人所以参加小组活动的为4+6+19=29人，两个

6、小组都没参加的为40－29=11人(2）一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？解：订《小学生数学报》的32人，订《中国少年报》的29人，两种报纸都订的有25人，实际上订阅的总人数是：29+32－25=36人，那么两种报纸都没订的有55－36=19人。答：两种报纸都没订的有19人。(3）某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？解：只获作文比赛

7、奖的14-3=11人，只获数学比赛奖的12-3=9人。获奖人数一共有11+9+3=23人，没获奖的就有50-23=27人。例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25=31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28+27－31=24（人）。28+27－（56－25)=24（人）答：同时参加语文、数学两科竞赛的有24人。想一想：下面算式有何道理(l)28－（56－25－27）=

8、24（人）(2)27－（56－25－28）=24（人）【疯狂操练】：(1）一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语