2007年数学四考研试题和答案

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1、2007年研究生入学考试数学四试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）[]（2）设函数在处连续，下列命题错误的是：（A）若存在，则（B）若存在，则.（B）若存在，则（D）若存在，则.[]（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：（A）(B)（C）（D）[]（4）设函

2、数连续，则二次积分等于（A）（B）（C）（D）（5）设某商品的需求函数为，其中—16—分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[]（6）曲线的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)(B)(C).(D).[]（8）设矩阵，则与(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射

3、击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A）.（B）.（C）.（D）[]（10）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为(A).(B).(C).(D).[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）__________..（12）设函数，则________.（13）设是二元可微函数，，则__________.—16—（14）微分方程满足的特解为________.（15）设矩阵，

4、则的秩为.（16）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)设二元函数，计算二重积分，其中.（19）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.（20）(本题满分10分)设函数具有连续的一阶导数，且满足，求的表达式.（21）(本题满分11分)设线性方程组与方程有

5、公共解，求的值及所有公共解.（22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；—16—（II）求矩阵.（23）(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为.（I）求；(II)求的概率密度.1……【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.—16—【详解】当时，，，，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，，或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价

6、无穷小代换可简化计算.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】.2……..【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取，则，但在不可导，故选（D）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果

7、以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3……..【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得，，.—16—所以，故选（C）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二

8、次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，，则，故应选（B）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念.【详解】选（D）.商品需求弹性的绝对值等于，故选（D）.【评注】需掌握经济中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6……【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平