赫尔德不等式及其应用

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1、i!⋯l解题思想万菇“jn㈣“赫德式国魑安振平(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心)众所周知，著名的赫尔德(HOlder)不等式是指：兰!+压定理设af一1，2，⋯，，J一1，2，⋯，是正a0实数，a(一1，2，⋯，)是正实数，且Og1+a+⋯+a证明：利用赫尔德不等式，得一1，则(警+寺)(+)[()+((al1)(ai2)⋯(a)≥∑妇a翟⋯n翻·i=1··+·①特别地，当一3，j：一3，一÷时，就有下面的特·√(。例：一(2+1)。，推论设z；>O，y>0，z>O(一1，2，3)，则有即9(2nc+。c／≥27，(z+z；+zi)(Y+Y2+Y；)(2{+2{+zi)

2、≥(111+2Y22+3Y3)。．②pjf~,2Zc+c>_ao当m~--2时，不等式便是著名的柯西(Cauchy)不例2(《数学通报)2003年第5期问题1435)已等式，这说明赫尔德不等式本质上是柯西不等式的一知a>O，6>0，求证：种推广．柯西不等式应用的专文是常见的，赫尔德不等式+√≥．的应用没有得到人们足够的重视．下面给出赫尔德不证明：应用赫尔德不等式，得等式及其特例的一些应用，其中提供了近期的全国第(+)。三届数学奥林匹克命题比赛获奖题和一些刊物征解题的解答，全供读者学习时参考．一『-互例1(2011年爱沙尼亚国家队选拔赛题)已知-I-U3b．．丽a，b，c∈R+，

3、且2n+b一9c。，求证：+bb．．丽]。“+-—·卜--4---4-··+--+-一—-+-+-——卜·所以，在轨迹m上使lOMI达到最大值1的点M出发，没有机械仿效问题2的解法，只是借鉴其思路，共有4个，其坐标分别为选用了不同的路径和方法进行求解，所用到的知识和技能也不尽相同．希望读者能在比较中多获裨益．(,／5，)，(譬，一)，(一雩，)，(一譬，一)．附记：本文开头说到的来信，是陕西省洛南县职因此，使lMM2l达到最大值2的“点对”共有两教中心的郝夏季老师邮来的，这篇拙文就权作我对来对，分别为：M1(＼譬5，譬J)，与M2(＼一迎3，一譬)，，或信的公开回复．在此，谨向

4、郝老师致以衷心的谢意，感谢他给我提出了一个有趣的数学问题，也感谢他为我M(雩，～)与M(一譬，譬)．提供了一次学习和思考的机会．本文虽经多斟酌，但毕竟是急就章，难免存在疏漏、缺失，乃至错误，敬请评注：如果直接套用问题2的结论，可快速得到大家批评指正．例3的答案．不过，作为解题练习，其效果大打折扣．(续完)因此，匕述采用了较为原始的解法，注重从具体问题p≯≮i!_=__：=

5、_W、lv铺zhongsl1u(annm+2)(f一c+2)≥8．≤(√军丽+√当)[√(n+36)+√(3n例5若a，b，C∈R+，求证：+6)]————【_—一+———————一+————————一。。一

6、(√+√)‘(+√)。，≥3．证明：应用赫尔德不等式，得所以√+√≥1．(∑a)(∑再)∑n(bz例3(2012年伊朗数学竞赛题)正实数口、b、C满足ab+bc+ca一1，求证：++C2)≥(口+b+c)。，只要证明(a+b+c)。≥3∑a(b+bc+c)，(+)≤++誓．即证Ct。+b。+C。≥3abc，显然成立．证明：应用柯西不等式，得例6(《数学通讯》2013年第1_2期问题125++：+旦+题)设a、b、C为非负实数，且口。+b。+c。一1，求证：bc。Ca。abn号6f。口6号c’口6c号—=+～—=+—=≥1．、(口号+be+c号)、~l+6ca~／—l+—6ab～

7、3厅f+6i3c十c3f2证明：利用赫尔德不等式，得(口号+be+c号)(∑)。∑a(1+66c)abc(vra+√b+c)一==～(++√)·●(＼，一a+—十’一一b+—十。一一f)I(●ab+—十一bc+—十⋯一crn，，)●≥)·辆]。一(∑口)。，≥鲁+-(+6号+c萼)z(+十)即(∑志)。≥，．焉利用赫尔德不等式，得(口号+6号+CT。)。f1。+1。+1。、≥(口+b+c)。于是，只要证明一≥1，≥f丽一3√3，等价于(∑n)。≥∑a(1+6bc)，即(口号+be+f号)≥，等价于(∑a。+2∑ab)(∑a)≥∑a(√+√+√)≤++．+18abc，例4设口>0

8、，b>O，c>O，a+b+c一3，求证：等价于(1+2∑n6)(∑n)≥∑口+18a6c(因(n一口。+2)(6一b。+2)(c一C。+2)≥8．为∑d。===1)，证明：因为(口一n。+2)一(n。+1)一(口一1)(n+1)(口0+口+1)≥O，等价于∑ab(∑口)≥9abc．所以a一口+2≥口。+1．因为∑ab(∑n)≥3·3一9abc，于是，要证(口一口+2)(6一b+2)(c一C。+2)成7f，≥8，只要证明故有—=+—=+=C≥1．(口。+1)(6。+1)(c。+1)>18．(*