找等腰三角形

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1、【授课内容】找等腰三角形【教学目标】学会利用分类讨论思想，解决有关已知线段AB，再找点C，使得△ABC为等腰三角形这类问题。【教学过程】教学板块教师教学学生活动媒体插入揭示课题，明确任务我们知道有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰。如果已知线段AB，再找点C，使得△ABC为等腰三角形，这样的点应该怎么找呢，有几种情况呢？讲解例1讲解例2我们先来看一个简单的问题。例1如图，在△ABC中，∠A=68°，∠B=42°.在AB上找一个点D，使得△DAC是等腰三角形.请用尺规作图找出所有满足条件的点.分析：在△DAC中，边AC是已

2、知的，这条边可以是等腰三角形的腰，也可以是底边，所以我们要进行分类讨论。(1)若以AC为底，则DC=DA.此时点D在线段AC的垂直平分线上.故做出AC的垂直平分线与AB的交点，这个点就是所求的满足条件的一个点。(2)若以AC为腰，∠CAD为顶角，则AC=AD.此时点D在以A为圆心，AC为半径的圆上.故可做出此圆与与AB的交点，这个点就是所求的满足条件的第二个点。(3)若以AC为腰，∠ACD为顶角，则AC=CD.此时点D在以C为圆心，AC为半径的圆上.故可做出此圆与与AB的交点，这个点就是所求的满足条件的第三个点。结果如下图：我们总结一

3、下步骤：问题：已知线段AB，找点C，使得△ABC为等腰三角形。思想方法：分类讨论，两圆一垂直平分线例2如图，在平面直角坐标系中，A(5，0)，C(0，4).过点C作直线l∥x轴.若点B在直线l上运动,求出使△OAB读题思考幻灯片：出示例1题目出示解答过程出示流程图是等腰三角形的所有点B的坐标.分析：在△DAC中，边OA是已知的，这条边可以是等腰三角形的腰，也可以是底边，所以我们要进行分类讨论。解：当OB=AB时过点B作BH⊥OA于点H∴OH=AH=∴点B的坐标为当OA=OB=5时∵在Rt△OBC中,BC2=OB2-OC2=9∴BC=3

4、当点B在第一象限时坐标为(3，4)；当点B在第二象限时坐标为(-3，4).当OA=AB=5时过点A作AH⊥l于点H∵在Rt△ABH中,BH2=AB2-AH2=9∴BH=3当点B在点H的左边时坐标为(2，4)；当点B在点H的右边时坐标为(8，4).综上：符合条件的点B共有个，坐标分别为(2，4)，(8，4)，(3,4)，(-3,4)，幻灯片：出示例2题目出示解答过程讲解例3例3两张全等的直角三角形纸片如图摆放，其中B、D重合，B、C、E在同一条直线上,已知AB=4，BC=3.现将△DEF沿射线BC方向平行移动,在整个运动过程中,要使△A

5、CE成为等腰三角形,求△DEF平移的距离.分析：在整个运动中，我们可以将问题转化为在射线EC上找一个点，使这个点与A、C构成等腰三角形.解：记△DEF平移后点E的位置为G.读题思考幻灯片：出示例3题目当以AC为腰，∠ACG为顶角时，则CG=CA=5.若G在C的左侧，则EG=CG+BC+BE=12；若G在C的右侧，则EG=BC+BE-CG=2.∴平移的距离为12或2.当以AC为腰，∠CAG为顶角时，则AG=AC.∵AB⊥CG，∴BG=BC=3.∴GE=BE-BG=1.∴平移的距离为1.当以AC为底时，则点G在AC的垂直平分线上.∴GA=

6、GC.设GB=x，则GA=GC=x+3.在Rt△ABG中，由勾股定理得：∴平移的距离为∴综上所述，要使△ACE成为等腰三角形,则△DEF平移的距离为1或2或12或出示解答过程练习练习：在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(0,4).在轴x上是否存在点P,使得为△ABP等腰三角形.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.解：在Rt△ABO中,∵AB2=AO2+BO2=20当AP=AB时若点P在点A的左边时坐标为；若点P在点A的右边时坐标为；读题思考幻灯片：出示练习题目出示解答过程当BP=BA时∵BO⊥AP∴PO=

7、AO=2∴点P的坐标为(2,0)当BP=AP时设BP=AP=x，则OP=x-2在Rt△OBP中,x2=(x-2)2+42解这个方程得x=5∴点P的坐标为(3,0)综上：符合条件的点P有4个，坐标分别为(3,0)，(2,0)，，小结今天我们学习了已知等腰三角形的一边（两个顶点）找第三个顶点这类问题，解决这类问题的关键是要利用分类讨论思想，把问题转化为两圆一中垂线。