八年级下册第一章　三角形的证明4. 角平分线.docx

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1、第一章　三角形的证明4.角平分线教学目标1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果2学情分析学生在七年级已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。3重点难点重点:运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题难点:垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用4教学过程4.1第一学时    教学活动活动1【导入】创设情境，导

2、入新课学生游戏：确定两位学生的位置，让同学们找出到这两位学生距离相等位置，找三名学生站位。教师采访：1.你为什么要站在这个这个位置？他有什么特点？（引课）教师提问：2.还记得用尺规画线段的垂直平分线吗？学生板演：尺规画图线段的垂直平分线 教师提问:3.线段的垂直平分线有什么性质呢？学生回答：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．进一步提问：七下我们用折纸的方法得到这一结论，用公理或学过的定理怎么证明这一结论呢？活动2【活动】性质探索与证明教师提问：怎么证明一个文字命题呢？需要几步？学生回答：画图、写出已知、求证、证明教师提问：哪位同学能把这个命题改为“如果

3、……那么……”的形式，从而找出条件和结论。学生回答：如果一个点是一条线段垂直平分线上的点，那么这个点到线段两个端点的距离相等。请同学们根据条件和结论，在练习本上完成它的证明 学生板演：已知：如图1，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．    ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．教师再用多媒体完整演示证明过程．学生总结：1.线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．                  2.

4、与等腰三角形的联系活动3【活动】判定探索与证明      教师提问:  你能写出上面这个定理的逆命题吗?这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需把原命题的条件和结论交换位置，鼓励学生找出原命题的条件和结论.      逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”      教师引: 写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．小组合作讨论：证法一：已知：如图2，线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的

5、垂线PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二：如图3取AB的中点C，过PC作直线．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上．证法三：如图4过P点作∠APB的角平分线．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠P

6、CA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．学生归纳：线段可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。活动4【活动】例题分析   例题：已知：如图 5，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC。分析: 证明线段的垂直平分线的方法目前有两种，        1.线段的垂直平分线的判定定理；        2.线段的垂直平分线的定义；        3.

7、可以用等腰三角形的三线合一性。        学生分别用三种方法作出了证明，其中用判定最为简单，证明过程如下：证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）活动5【练习】随堂练习随堂练习：1.已知：如图 ，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点.              求证：∠ECF=∠EDF   活动6【测试】运用拓展体验中考：1.（20