正多边形面积计算

《正多边形面积计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、正多边形的面积计算ABCDEFGa我们知道，正四边形（正方形）面积等于a2,正三角形的面积等于34a2。我不禁想到了：那么正五边形、正六边形呢？通过画图计算，我发现正六边形的面积公式比较容易推导，而正五边形的则复杂一些。ABCDEFGa如图是一个边长为a的正六边形。连接AC,DF,过B作BG⊥AC。∴BG=a2,AC=3a。∴S∆ABC=12AC∙BG=34a2。∴S正六边形=34a2×2+a×3a=332a2。用类似的方法，我求得了正五边形的面积公式，不过结果十分复杂。我求得S正五边形=2sin54°cos54°+sin54°sin72°a2。我想化简这个结果。通过观察公式sin2α=

2、2sinαcosα,我发现可以将2sin54°cos54°化简为sin108°,即cos18°。得到这个结果，我挺满意，又考虑能不能把sin54°sin72°也变成与cos18°有关的形式。经过尝试，我进行了以下变形：sin54°sin72°=cos36°cos18°,而又有cos2α=2cos2α-1，所以cos36°cos18°=2cos318°-cos18°。所以2sin54°cos54°+sin54°sin72°=2cos318°。∴S正五边形=2cos318°a2。而利用黄金三角形，可以求得cos18°=10+254。虽然这是根式的形式，但是代入原式会异常复杂，还不如三角函数的

3、表示形式简明。我又想有没有能够适用于所有正多边形的公式，而不用屡次尝试化简三角函数。…ABCDEO很快，我找到了一个普遍适用的新方法。作出该正多边形的中心O，连接OB，OC，过O作OE⊥BC。设该正多边形为正n边形，边长为a。∴OB=OC,∠BOC=360°n,∴BE=CE=a2,∠BOE=180°n。∴OE=BEtan∠BOE=a2tan180°n。∴S正多边形=12na×a2tan180°n=n4tan180°na2。发现了这个结论，我很高兴，将n=3,n=4,n=6逐一带入，都与之前的结果相符。这时，我又联想到了圆。圆可以看成正无数边形，那么圆的面积公式S圆=πr2与这个公式是否统

4、一呢？我发现将边心距OE=a2tan180°n记为h，那么a=2tan180nh。将其代入S正多边形=n4tan180°na2得到S正多边形=ntan180nh2。将这个公式与S圆=πr2类比，可得当正n边形变数无限大时，ntan180n就无限接近于π。不过ntan180n似乎不能化简而我又想到了，前面我用OE来近似表示半径，那如果用OB来表示呢？同样，我求得OB=a2sin180°n，记OB=h’，∴a=2sin180°nh’。代入得S正多边形=nsin180°ncos180°nh'2。同上，当正n边形变数无限大时，nsin180°ncos180°n也无限接近于π。当ntan180n与

5、nsin180°ncos180°n无限接近时，即有tan180n≈sin180°ncos180°n，又sinαcosα=tanα,∴cos2180°n近似等于1，即n无穷大。这说明了该结论的正确性。由图像可以看出，函数值无限接近πfx=xsinπxcosπxfx=πfx=xtanπx