数值分析4new

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1、《数值分析》4Newton迭代格式Newton迭代法的收敛性Newton迭代法收敛速度弦截法迭代格式设x*是方程f(x)=0的根,x0是x*的近似值.在x0附近,对函数做局部线性化x1比x0更接近于x*x0x1x*f(x)=0(n=0,1,2,·····)牛顿迭代格式给定初值x0,迭代产生数列x0,x1,x2,·········,xn,·······应用——求正数平方根算法设C>0,x2–C=0令f(x)=x2–C,则初值:x0=1.5迭代格式:xn+1=0.5(xn+2/xn)(n=0,1,2,

2、·····)引例.平方根算法求xnError1.4166666666666672.45e-0031.4142156862745102.12e-0061.4142135623746901.59e-0121.4142135623730952.22e-0161.4142135623730952.22e-016表1平方根算法实验由此可知,平方根算法具有2阶收敛速度Newton迭代法的局部收敛性定理2.7设f(x)在点x*的某邻域内具有二阶连续导数,且设f(x*)=0,f’(x*)≠0,则对充分靠近点x*的初值x0,N

3、ewton迭代法至少平方收敛.所以,Newton迭代法至少平方收敛例2.求x3+10x–20=0在x0=1.5附近的根解:取牛顿迭代格式则有nxn

4、xn+1–xn

5、01.511.597014925373139.7015e-00221.594563748768812.4512e-00331.594562116631881.6321e-00641.594562116631157.2298e-013表2牛顿迭代法实验缺陷1.被零除错误2.程序死循环y=arctanx对f(x)=arctanx存在x0,使Newto

6、n迭代法陷入死循环f(x)=x3–3x+2=0在x*=1附近,Newton迭代法陷入死循环的另一个例子取x0=0,(n=0,1,·····)f’<0,f”>0f’>0,f”>0f’>0,f”<0f’<0,f”<0牛顿迭代法收敛的四种情况定理:若函数f(x)在[a，b]上满足条件则方程f(x)=0在[a，b]上有唯一根x*，且由初值x0按牛顿迭代公式求得的序列{xn}二阶收敛于x*。（1）f(a)f(b)<0；（2）f’(x)，f”(x)在[a，b]上连续且不变号（恒为正或恒为负）；（3）取x0∈[a，b]使得

7、f(x0)f”(x0)>0。例3.已知方程有两根:取根附近值做初值,分析牛顿迭代法实验的数据。表3初值取–1.5时牛顿迭代法速度nxn

8、en

9、

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11、/

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13、20-1.55.00e-0011-2.333333333333.33e-0011.33332-2.055555555555.55e-0020.50003-2.001949317731.94e-0030.63164-2.000002528292.52e-0060.66545-2.000000000004.26e-0120.6667表4初值取1.5时牛

14、顿迭代法速度nxn

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17、en+1

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20、01.55.00e-00111.26666662.66e-0010.533321.13856201.38e-0010.519631.07077737.07e-0020.510841.03579183.57e-0020.505751.01800081.80e-0020.502961.00902719.02e-0030.501571.00452034.52e-0030.500781.00226182.26e-0030.500491.00113131.13e-0030

21、.5002101.00056575.65e-0040.5001111.00028292.82e-0040.5000引理设x*是f(x)=0的二重根,则牛顿迭代法只具有一阶收敛证:x*是二重根f(x)=(x–x*)2g(x)牛顿迭代法只是一阶收敛.nxn

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27、201.55.00e-00111.033333333333.33e-0020.133321.000182149361.85e-0040.163931.000000005525.52e-0090.1667若x*是f(x)=0的m重

28、根,修正的牛顿迭代法为二阶收敛表5x*为二重根时修正的牛顿迭代实验m=2Newton迭代法的变形－弦截法由于代入牛顿迭代格式nxn

29、en

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32、/

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34、1.6181-1.55.00e-0012-2.55.00e-0011.53473-1.837837837831.62e-0010.49784-1.954208907624.57e-0020.86915-2.005522441195.52e