论文基本模版

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1、积分中值定理在数学分析中的应用李*数学科学学院统计学学号：**8指导老师：***摘要:本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用，这些应用主要是：一，求函数在一个区间上的平均值；二，估计定积分的值；三，求含有定积分的极限；四，确定积分的符号；五，证明中值的存在性命题；六，证明积分不等式；七，证明函数的单调性。关键词:积分；中值；定理；应用MeanValueTheoreminMathematicalAnalysisLiXiu-huaCollegeofmathematicsandcomputerscienceNo:110444036Tu

2、tor:WangBei-zhanAbstract:Thispaperdescribesthemeanvaluetheoreminmathematicalanalysisapplicationnoteandafewofthemajorapplications.Theseapplicationsaremainly:1.Demandfunctioninanintervalontheaverage;2.Theestimatedvalueofdefiniteintegral;3.Ordertocontainthelimitsofdefiniteintegrals;4.

3、Defineintegralofsymbol;5.Proofoftheexistenceofthevalueproposition;6.Toproveintegralinequality;7.Toprovemonotonicityofafunction.Keywords:integral;average-value;theory;applied.目录摘要:11引言2122预备知识33积分中值定理的应用43.1求函数在一个区间上的平均值53.2估计定积分的值63.3求含有定积分的极限73.4确定积分的符号93.5中值的存在性命题93.6证明不等式93.7证明函

4、数的单调性11参考文献121引言12积分中值定理是数学分析中的主要定理之一，同时也是定积分的一个主要性质，它建立了积分和被积函数之间的关系，从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质，有较高的理论价值和广泛应用。本文就其在解题中的应用进行讨论。2预备知识定理2.1[1](积分第一中值定理)若在区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点使得(1)证明由于在区间[a，b]上连续，因此存在最大值和最小值。由，使用积分不等式性质得到或。再由连续函数的介值性，至少存在一点，使得定理2.2[1](推广的积分第一中值定理)若在闭区间上连续，且在上不变号，则在至

5、少存在一点，使得(2)证明推广的第一中值积分定理不妨设在上则在上有其中，分别为在上的最小值和最大值，则有12若，则由上式知，从而对上任何一点，定理都成立。若则由上式得则在上至少存在一点，使得即显然，当时，推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式，也可以考虑使用积分中值定理。在使用积分中值定理时要注意以下几点：(1)在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则，结论不一定成立。例如显然在处间断。由于12但在上，，所以，对任何都不能使。(

6、2)定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉。例如令由于，但所以，不存在，使(3)定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是的内点。例如令，则对都有，这也说明了未必在区间的内点。下面就其应用进行讨论。3.1求函数在一个区间上的平均值12例1试求在上的平均值。解平均值例2试求心形线上各点极经的平均值。解平均值注在解某区间上一个函数的平均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积分结果除以区间的差值。在这里主要是应用了积分第一中值定理，所以求解其类问题时，一定要理解积分中值定理的定义。3.2估计定积分的值例3估计的值。解由推广的积分第一中值定理，

7、得其中因为所以即故例4估计的值。解因为在上连续，且12，，所以由积分第一中值定理有。在估计其类积分的值时，首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值，然后再利用积分中值定理就迎刃而解了。例5估计的值。解因为在上连续，在内可导，且在内无解，即，等号仅在时成立。故在内严格单调增，即，所以由积分第一中值定理有。在估计其类积分的值时，首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续，在开区间上可导，然后判断函数在积分区间上的单调性，最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了。综上，在利用积分中值定理估计积分的值时，我们要根据不同的题

8、型给出不同的解决方法，这也是我们在学习过程中逐渐要培