符号意识的理解与实例分析

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1、符号意识的理解与实例分析马云鹏(东北师范大学教育学部教授)符号意识是《标准》中10个核心概念之一。原来提出的是符号感，后改为符号意识，也是很重要的核心概念。一、符号意识的含意《标准》中关于符号意识的表述：符号意识主要指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。首先，要理解符号的意义。用数字表示数量就是一种符号，而从数字抽象出的字母有a、b、c、x、y等，一般用a、b、c表示常量，x、y表示变量。还有一些运算符号如+、-、×、÷，在这里指的符号主要是指用字母表示数和运算符

2、号的意义。其次，运用符号表示对象是代数表达式所必须，也是从算术思维到代数思维所必须运用的。如加法交换律用语言表示是：两个加数相加，交换加数的位置，和不变。如果用符号表示就是，既简洁又抽象，这正体现了数学的一种简洁美。从这种意义上讲，符号也是数学的发展与进步。最后，使用符号进行运算和推理，得到一般结论，如公式、定律的推理表示。在小学几何图形的计算公式都是符号意识的体现，如长方形的面积公式是长×宽，用符号表示就是。【案例1】用字母表示数用字母表示数不仅是对具体事物的抽象符号，还是一种数量关系的抽象。比如学习乘法交换律一般是归纳的方式

3、进行学习。比如，，，计算左右两边相等，不妨用a、b分别表示两个因数，就可以表示成。在教材的呈现和教学过程中都有用字母表示数，帮助学生建立符号意识。教材中有(1)、(2)两种方式对比(1)、(2)：。教材(1)中，直接给出字母表示数的公式，这种呈现方式简单明了，但是学生没有看到数字抽象成字母的过程；。而教材(2)中提供了一些情境，比如爸爸的年龄与孩子年龄的关系。小红1岁时，爸爸31岁；小红2岁时，爸爸是2+30；小红3岁的时候，爸爸是3+30；小红4岁的时候，爸爸是4+30……当小红8岁的时候，爸爸多大？小红，10岁的时候，爸爸多

4、大呢？小红的年龄与爸爸的年龄是什么关系呢？用文字表示是小红的年龄加上30岁等于爸爸的年龄。如果用a表示小红的年龄，则爸爸的年龄应该是a+30岁。给出一个具体的年龄，比如小红11岁，则爸爸应该是11+30岁。可以看出用符号来表示一组数，能使之更简洁。1．符号表达。[1]考虑这样的问题：两个和为10的自然数可以组成数对，那么，都可以组成怎样的数对呢？这个问题可以参见《义务教育数学课程标准》的例10。对于这样的问题，低学段学生的回答可能非常随机，比如3和7、4和6等等。这样回答问题往往会出现重复或遗漏，因此，教师要引导学生有规律地思考

5、问题，这就需要借助符号（或者图形）进行表达。比如，如果其中一个不超过10的自然数是a，那么，另一个自然数就是10-a，组成的数对是(a，10-a)。这样就可以有规律地回答问题：a01234510-a1098765由此可以看到，有规律地回答问题可以避免杂乱无章、是一种理性的表现。特别是有规律地回答问题可以从中发现一些共性的东西，参见下面关于方程的讨论。因此，在这样的教学过程中，可以培养学生有序思维的习惯，积累数学思维的基本经验。2．解释算理。要一般性的解释一种规则，必须借用符号。比如，解释加法交换律的教学步骤可以是这样的，先让学生

6、作一些与交换律有关的数字例子：2+3=53+2=52+3=3+27+8=158+7=157+8=8+7……  通过这些例子，可以启发学生猜想，这个结果是不是一般性地成立呢？如果一般性成立，那么应当如何表达这个结果呢？引导学生思考：如果用a和b表示两个数，类比上面的数字结果，一般的结果是不是可以写成这样的等式？这就是通过归纳推理提出猜测的思维过程，这是一个从具体走向一般的思维过程。从这个例子可以看到，只有通过符号才能清晰地表达一般性的结果。二、符号意识在数学学习中的价值《标准》中指出：建立符号意识有助于学生理解符号，符号的使用是数

7、学表达和进行数学思考的重要形式。首先是数学表达：从数量到数（如从四只羊，四个轮子，四条腿到“4”），从数到字母，从语言到符号表达方式的改变（两个数相加，调换加数的位置得数不变)，抽象程度是不断提高的。其次是数学思考：从形象思维到抽象思维，从算术思考到代数思考，比如方程的优越性在于把一个未知的数量用字母表示，使未知数与已知的数量同等地位，从而简便了运算和表达。三、教学中体现符号意识的案例分析【案例2】[2]唱儿歌——《数青蛙》一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；……让学

8、生边拍手边有节奏地哼唱着，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多的数不清。这时赵老师问：“还能唱吗？”学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，提出问题：这是一首永远唱不完的儿歌，你能想办法把它唱完吗？学生在练习纸上填：生1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛