作业--随机过程

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1、长度之和必不小于第三边的长度。进而还有，第三边的长度不小于其余两边长度之差，即。事实上，利用三角不等式，一方面我们有另一方面又有结合起来，即知下面举几个例子来说明赋范线性空间。例1。它是定义在上的所有连续函数构成的线性空间，并且对于每一个赋予范数要证明如此定义的的确是一个范数，必须证明它满足关于范数的三条公理。为此，看是显然的；当且仅当，即上恒为0的函数。。所以的确是范数。例2。它是定义在上所有连续可导函数构成的线性空间，对于每一个，规定范数例3有限非零序列空间。若记此空间为，则对于每一个其范数规定为例4设由上

2、所有连续函数构成的线性空间为，对于每一个，定义可以验证，以上定义的满足关于范数的三条公理。以此它也构成一个赋范线性空间。注意它是与不同的赋范线性空间，尽管它们同是上所有的连续函数构成的线性空间，但是两者所规定的范数不同。例5维空间。所有形如的维向量构成的线性空间，其间规定范数则它是一个赋范线性空间，称为维空间，简称为维欧式空间，记为。可以验证，这样规定的确实满足关于范数的三条公理，其中1与2条是显然的，致于第3条，在随之即将介绍的空间中，三角不等式是不等式的特殊结果。例6与空间。定义在上的一个函数，若存在一个非

3、负常数，使得对于的任一分割有成立，则称为上的一个有界变差函数。其全变差定义为这里的上确界是对上的所有分割所取的。对于在上的全变差，还有一个富于启示的记法，即依照有界变差函数的性质，可知上的所有有界变差函数构成一个线性空间，其中范数定义为可以验证确实范数。并且把这样赋范的线性空间记为，称为有界变差函数空间。需要指出的是，常数的全变差为零，而单调函数的全变差为函数在区间的两个端点处取值之差的绝对值。同时，还指出，特别的一类有界变差函数，即，在上右连续，这样的在上所有有界变差函数构成的赋范线性空间，称为标准的有界变差

4、函数空间，记为。其间，若，则3．2开集与闭集集合的开性与闭性是集合的拓扑性质，它是集合的基本概念之一。在赋范线性空间中，由于已经引入了范数，所以就可以定义一个点的领域或小球，即其中。它称为点的领域。有时也将它记为，即是以点为中心，以为半径的小球。对于的一个子集，给定，如果存在，使得满足的所有也在之中，即有的领域，那么称这样的点为的内点。如图3.1所示。由集合所有内点构成的集合，称为的内部，记为。一个集合的内部可能是空集，例如，在中，由单个点或一条直线构成的集合，其。如果一个集合，其全部由内点构成，那么有下列定义

5、。定义当时，则称为一个开集。由于空集的内部也是空集，即，所以空集是开集。此外，全空间也是一个开集，因为。领域也是一个开集，例如，将集合称为一个单位开球。定义若对于任意的及，都存在一点，使得，则称点为的闭合点或聚点。的所有闭合点构成的集合称为的闭包，记为。此定义说明，如果点的任一领域中都包含有中的一个点，那么便是的一个闭合点。显然有。定义当时，则称为一个闭集。依据这个定义，可知空集与全空间也都是闭集。结合前述，与是既开又闭的。而集合是一个单位闭球。此外，单点集也是个闭集。同时，还有。当集合的一个点，它的任一领域中

6、既有中的点，又有不在中的点，这样的点称为的边界点。实际上，闭包是由与其边界点构成。对于开集与闭集，它们之间有下列性质：命题1一个开集的余集是闭集，而一个闭集的余集是开集。证明设是一个开集，则它的余集因此，对于任意的点，有的领域与不相交，所以不是的闭合点。从而包含了自己的所有闭合点。这就证明了是一个闭集。另外，设是一个闭集，则对于任意的，它不是的闭合点。因此，有点的一个领域与不相交，也就是，是的一个内点，从而是一个开集。命题2有限多个开集之交是开集；任意多个开集之并是开集。证明设，其中是开集，。对于任意的，则对于

7、每个，有，由于是开集，所以又有某个领域，由于指标集是有限的，所以对于所有的，可以选出一个最小的，设为，则有，，从而，有这说明是一个开集。另外，设，其中是某个有限或无限的指标集。于是，对于任意的，必有某个指标，使得，由于是开集，所以又有某个领域。进而又有。这就证明了是一个开集。与命题2互补的是命题3有限个闭集之并是闭集；任意多个闭集之交是闭集。其证明与命题2类似。命题4设是一个凸集，则与亦然。证明当与都是空集时，则它们都是凸集。现在设。若，则对于任意固定的标量，需要证明。为此有，对于任意给定的，可以选取，使之满足

8、。令，进而有这就说明是的闭合点，即另外，若，，则存在，使得与。当时，可有与。令，则根据的凸性，可知这说明是的内点，从而也是凸集。类似地可以证明，子空间，线性流形，以及锥的闭包与内部仍分别是子空间，线性流形，以及锥。最后，还要指出，以上讨论的所有拓扑概念，也可以相对于给定的线性流形来定义。设是包含在线性流形中的集合。如果存在，使得满足的都落在内，则称是相对于的内点。如果中的每一点都是相对