物理奥赛例题及答案—对称法

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1、练习题五:对称法A1、一半径为R入党半圆均匀薄片质心的位置？求一厚度和密度都均匀的扇形薄片，其半径为R，顶角为2A，求质心？A2、如图7—6所示，长为l的两块相同的均匀长方形砖块A和B叠放在一起，A砖相对于B砖伸出，B砖放在水平桌面上，砖的端面与桌面平行。为保持两砖不翻倒，B砖伸出桌面的最大长度是多少？解析：此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁。把A砖右端伸出B端的截去，补在B砖的右端，则变成图7—6—甲所示的对称形状。伸出最多时对称轴应恰好通过桌边。所以：l－x=x+解得B砖右端伸出桌面的最大长度为：x=1A3、如图7—11所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三

2、角形，A点为三角形的内心，B点与三角形共面且与A相对ac棒对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时测得A、B两点的电势各为UA、UB，现将ac棒取走，而ab、bc棒的电荷分布不变，求这时A、B两点的电势、。解析：ab、bc、ac三根棒中的电荷对称分布，各自对A点电势的贡献相同，ac棒对B点电势的贡献和对A点电势的贡献相同，而ab、bc棒对B点电势的贡献也相同。设ab、bc、ac棒各自在A点的电势为U1，ab、bc棒在B点的电势为U2。由对称性知，ac棒在B点的电势为U1。由电势叠加原理得：3U1=UA①U1+2U2=UB②由①、②两式得：U1=，U2===将ac棒取走后，

3、A、B两点的电势分别为：=UA－U1=UA=UB－U2=+A4、电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD为通过半球顶点C与球心O的轴线，如图所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧，离O点距离相等的两点，已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。解析：可以设想一个均匀带电、带电量也是q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，根据对称性来解。由对称性可知，右半球在P点的电势等于左半球在Q点的电势UQ。即：=UQ所以有：UP+UQ=UP+PDCQOBA而UP+正是两个半球在P点的电势，因为球面均匀带电，所以UP+=K由此解得Q点的电势：UQ=－UP。A5、

4、一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA′平行于BB′，试求圆心O处的电场强度。解析：如图7—8甲所示，左上1/4圆弧内的线元ΔL1与右下直线上的线元ΔL3具有角元Δθ对称关系。ΔL1电荷与ΔL3电荷在O点的场强ΔE1与ΔE3方向相反，若它们的大小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心处场强为零。设电荷线密度为常量λ，因Δθ很小，ΔL1电荷与ΔL3电荷可看做点电荷，其带电量：q1=RΔθλ，q2=ΔL3λ当Δθ很小时，有：q2=又因为ΔE1=K，ΔE2=K=K=K，与ΔE1的大小相同，且ΔE1与ΔE2方向相反。所以圆心O

5、处的电场强度为零。A6、如图7—15所示，两块竖直放置的平行金属板A、B之间距离为d，两板间电压为U，在两板间放一半径为R的金属球壳，球心到两板的距离相等，C点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A板的一端，试求A板与点C间的电压大小为多少？解析：将金属球壳放在电场中达到静电平衡后，球壳为等势体，两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图7—15甲所示的电场，这时C与A板间电势差就不能用公式UAC=EdAC来计算。我们利用电场的对称性求解。由于电场线和金属球关于球心O对称，所以A板与金属板的电势差UAO和金属球与B板的电势差UOB相等，即：UAO=UOB又A、B两板

6、电势差保持不变为U，即：UAO+UOB=U由以上两式解得：UAO=UOB=所以得A、C两点间电势差：UAC=UAO=AB1、沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h，距离墙壁的水平距离为s，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s，如图7—1所示。求小球抛出时的初速度。解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞，故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性，碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理，效果上相当于小球从A′点水平抛出所做的运动。根据

7、平抛运动的规律：因为抛出点到落地点的距离为3s，抛出点的高度为h，代入后可解得：v0=x=3sv0m123B2、如图所示，完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块的时间之比。解：子弹匀减速穿过三木块，末速度为零，我们假设子弹从右向左作初速度为零的匀加速直线运动．则：子弹依次穿过321三木块所用时间之比：t3：t2：t1=1：√（2−1）：√（3−2）得：子弹依次穿过123三木块所用时间