数学第七章作业

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1、5.设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为：ft=1θe-(t-c)/θ，t≥c0，其他其中c，θ（c，θ＞０）为未知参数．自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验．设它们的失效时间依次为x1≤x2≤…≤xn。（1）求θ与c的最大似然估计值．（2）求θ与c的矩估计量．解:(1)似然函数为L(θ,c)=L(x1,x2,…,xn;θ,c)=i=1n1θe-(t-c)/θ，x1,x2,…,xn≥c,0,其他由题设x1≤x2≤…≤xn，故x1,x2,…,xn≥c相当于x1≥c，所以Lθ,c=1θe-(i=1nxi-nc)/

2、θ，c≤x1,0,c>x1当c≤x1时，Lθ,c随c的增长而递增，当c>x1时Lθ,c=0，因而对于固定的θ，Lθ,c在c=x1取到最大值，从而c=x1。另外，当c≤x1时，将Lθ,c取自然对数lnLθ,c=-nlnθ-1θ(i=1nxi-nc)∂∂θlnLθ,c=0时，得∂∂θlnLθ,c=-nθ+i=1nxi-ncθ2=0θ=x-c由此可知c,θ的最大似然估计值为c=x1,θ=x-x1。(2)u1=-∞∞tf(t)dt=c∞tθe-(t-c)/θdt,令u=t-cθ，u1=0∞（uθ+c）e-udu=c+θΓ(2)=c+θ。u2=-∞∞t

3、2f(t)dt=c∞t2θe-(t-c)/θdt,令u=t-cθ，u2=0∞(uθ+c)2e-udu=θ2Γ3+2cθΓ2+c2=2θ2+2cθ+c2=(c+θ)2+θ2，由此得θ=u2-u12,c=u1-u2-u12将u1，u2分别换成A1=X,A2=1ni=1nX2,并且A2-A1=1ni=1n(Xi-X)2,得出θ及c的矩估计量θ=1ni=1n(Xi-X)2,c=X-1ni=1n(Xi-X)2