圆锥曲线训练2011.12.30

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1、圆锥曲线训练2011.12.301、已知以原点O为中心的椭圆，它的短轴长为，右焦点（c>0），它的长轴长为2a（a>c>0），直线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P．Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；（Ⅲ）设，过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．2、如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且经过点M（2,1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0）,且交椭圆于A、B两点.  （1）求椭圆的方程；  （2）求m的取值范围；  （3）求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。 3

2、、如图，已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标  4、 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值．5、已知点是平面内一动点，直线、斜率之积为。(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；(Ⅱ)已知过点的直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围。6、如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x＝4，右焦点F到它的距

3、离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程． 7、已知椭圆C：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A、B两点．（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）将

4、AB

5、表示为m的函数，并求

6、AB

7、的最大值．8、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．   (1)求圆的方程；   (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9、已知有

8、公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是       .10、已知点P是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为                    （   ）      A.      B.         C.    D.参考答案1、（Ⅰ）解：由题意，可知椭圆的方程为．           由已知得                            解得，c=2，                

9、                    所以椭圆的方程为，离心率．                     （Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x－3）．联立方程组，得（3k2+1）x2－18k2x+27k2－6=0，           依题意△=12（2－3k2）>0，得．                         设P（x1，y1），Q（x2，y2），则， ①     ． ②               由直线PQ的方程得为y1=k（x1－3），y2=k（x2－3），于是，y1y2=k2（x1－3）（x2－3）=k2[x1

10、x2－3（x1+x2）+9]．       ③∵，∴x1x2+y1y2=0．   ④                            由①②③④得5k2=1，从而．所以直线PQ的方程为或．          （理科做）（Ⅲ）证明：∵P（x1，y1），Q（x2，y2），A（3，0），∴，．由已知得方程组，注意λ>1，解得，                因为F（2，0），M（x1，－y1），故．                                                              而，所以．        2、（1）设椭

11、圆方程为（a>b>0）则    ∴椭圆方程     --------------3分（2）∵直线∥DM且在y轴上的截距为m，∴y=x+m由∵与椭圆交于A、B两点∴△=（2m）2-4（2m2-4）>0-2

12、*）又y1=x1+m y2=x2+m∴