圆锥曲线韦达定理和点差法运用(1)

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1、例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）的最小值为（2）的最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程例5、定长为3

2、的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。1.分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为即y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()

3、，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会2.分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解：（1）4-设另一焦点为，则(-1,0)连A,P当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。（2）3作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，∴∴当A、P、H三点共线时，其和最小

4、，最小值为3.分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。解：如图，，∴∴（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！4.分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC

5、-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA∴即（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为（x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）5.分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(

6、x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)①②③则由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9④由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9∴，≥当4x02+1=3即时，此时法二：如图，∴，即，∴，当AB经过焦点F时取得最小值。∴M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法

7、。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。6.分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防此时问题已明朗化，只需用韦达

8、定理即可。解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设