数学奥林匹克分类问题(印度,分为数论、组合、几何、代数、杂题

《数学奥林匹克分类问题(印度,分为数论、组合、几何、代数、杂题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、印度数学奥林匹克问题ProblemPrimerfortheOlympiad数论1.试找出一个最小的数，以十进制表示它的最末一个数字是7。若将最末的数字调到最先，得到的数值是原来的5倍。2.若把所有的二位数从19到93顺序地写成数目N=192021......919293，找出能整除N的3之最大幂指数。3.若x、y、z、n为自然数且满足xn+yn=zn，试证明x、y、z各数大于n。4.已知两个大于1的互质整数m、n。证明log10m/log10n是无理数。5.试找出所有正整数m、n使得2m+3n为完全平方数。6.设a、b、x、y是大于1的整数，若a和b为互质且xa=

2、yb。试证存在一个大于1的整数n使得x=nb和y=na。7.证明对任何一个大于1的整数n，证明n4+4n不是质数。8.试找出所有的四位数满足以下条件：i.它是个完全平方；ii.首两个数字完全相同；iii.末两个数字完全相同。9.若a、b、c为任意的三个整数，证明abc(a3-b3)(b3-c3)(c3-a3)能被7整除。10.试找出整数2000C1000的最大3位数字的质因子。11.若1/a+1/b=1/c其中为无共因子的正整数，证明(a+b)是完全平方数。12.证明存在一自然数n使得以十进制表示n!恰有1993个“0”在未位。13.试找出当21990被1990除

3、后的余数。14.试找出所有的非负整数对(x、y)满足等式(xy-7)2=x2+y2。15.试找出并予以证明，所有的正整数n满足以下条件：i.n不是完全平方数ii.[√n]3整除n2。，其中[x]表示比x小或等于x的最大的整数。16.证明4个连续的自然数不能为完全立方数。17.i.试找出所有的正整数n使得3n+1整除2m+1其中m=3n。ii.对任何正整数n，证明3n+2不能整除2m+1其中m=3n。18.对任何正整数n，定义s(n)为满足1/x+1/y=1/n的正整数有序对(x、y)的总数。例如s(2)=3。试找出所有满足s(n)=5的正整数n所组成的集合。19.

4、对一正整数n，定义A(n)=(2n)!/(n!)2。试找出分别满足以下条件的正整数n所组成的集合：i.A(n)是个偶数；ii.A(n)是4的倍数。代数20.试找出下列无穷数列的最大数目：1，2√2，3√3，.......，n√n，......。21.若a、b、c为奇整数，证明：二次方程ax2+bx+c=0的根不能为有理数。22.若a、b为正实数且a+b=1，证明(a+1/a)2+(b+1/b)2≧25/2。23.试证明不存在任何互不相同的整数a、b、c、d满足a3+b3=c3+d3且a+b=c+d。20.若a0、a1、a2、....、a50为多项式(1+x+x2)

5、25的系数，证明a0+a2+a4+....+a50是偶数。21.证明多项式f(x)=x4+26x3+52x2+78x+1989不能表示为f(x)=p(x)q(x)，其中p(x)、q(x)整数系数的多项式且次数少于4。22.如实数a、b、c、d全不为零，证明方程x6+ax3+bx2+cx+d=0的根不能全为实数。23.已知方程x4+px3+qx2+rx+s=0有四正的实数根，证明：i.pr-16s≧0，ii.q-36s≧0．在以上的任一等号成立当且仅当四个根全相等。24.设a、b、c为实数且0

6、(1-b)．c/(1-c)≧8。25.证明1<　　1　1001+　1　1002+　1　1003+﹒﹒﹒+　1　3001<43。26.设x、y、z为实数使得x+y+z=4和x2+y2+z2=6，证明x、y、z各处于闭区间[2/3，2]内。问x能否到达极值2/3和2?27.设f(x)为整数系数的多项式。假设存在五个两两不同的整数a0、a1、a2、a3、a4、a5使得对1≦i≦5有f(ai)=2。证明不存在任何整数b使得f(b)=9。28.试找出所有函数f：R{0,1}→R(其中R代表实数集)满足以下函数方程：当x≠0和x≠1f(x)+f(　　1　1-x)=2(1-2

7、x)x(1-x)。29.设p(x)=x2+ax+b为二次多项式其中a、b为整数。若n为任一整数，证明存在一整数M使得p(n)p(n+1)=p(M)。30.若a0、a1、a2、....、an为n个奇自然数不能被大于5的整数整除。证明1<　　1　a1+　1　a2+　1　a3+﹒﹒﹒+　1　an<2。31.若p(x)是一整数系数的多项式设和a、b、c为三个互异的整数，证明p(a)=b，p(b)=c，p(c)=a不可能同时成立。32.设a、b、c分别为三角形的边长，证明以下不等式成立：32≦　a　b+c+　b　c+a+　c　a+b≦2。33.问左右两的等号能否成立。34.

8、设f为一函