数学归纳法的教法再探——从知识的产生过程中诠释递推思想

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1、数学归纳法的教法再探——从知识的产生过程中诠释递推思想数学归纳法作为数学的一种方法，蕴涵了非常深刻的数学思想，而我们在教学中往往将它形式化.但高中数学课程标准明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只局限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里．数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的.因此，高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质．数学课程要讲究逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理

2、解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法.”所以没有对数学本质的理解，就不可能有应用和创新．这就要求我们在教学中必须阐明问题产生的背景、抽象的过程以及结果的表述，体现其内在本质，决不能做表面文章．事实告诉我们，学生学习数学归纳法的主要困难有两点：其一是对方法本身不理解，第一步的意义和第二步的本质分别是什么？其二是由归纳假设成立推导成立时，变形过程有困难.老师为了解释两个步骤的必要性，常见的教学方法往往是举“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就

3、会倒下，第四块也会倒下，．．．．．．如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.老师提出问题：要使块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足什么条件？最后通过讨论得出结论：①第一块要倒下.②当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.老师把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤，最后让学生套用这个模式解题.虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵.数学教学是思维过程的教学，若把现成的结论直接抛给学生，好象课堂密度增大了，但事实上，由于学生缺乏

4、思考，很难在头脑中形成一个有效的认知结构，于是学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象”的水平上，即没有真正掌握.人教版普通高中课程标准实验教科书指出数学方法与数学思想的起源都是自然的，如果感到某个数学思想不自然，那么只要想一下它的形成过程，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物．本着这样的理念，就要求在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界，我是这样呈现它的：（—）设置障碍，激发学生自主探索的欲望在这一环节问题的选择很重要，如果选能用其它方法解决的问题，就很难激起学

5、生学习数学归纳法的兴趣．于是我选了这样一个用其它方法证明比较困难的题目：“证明：当．．．的一切自然数时都有成立”，让学生在愤悱状态中学习，形成一个欲罢不能的追求目标从而激发学生自主探索的欲望．学生互相讨论了片刻觉得无从着手，这时我启发他们从特殊值入手，来验证．时，原不等式为成立．时，原不等式为，通过计算成立．时，原不等式为，通过计算成立．时，原不等式为，通过计算成立．时，原不等式为（二）通过比较，引出递推思想（学生窃窃私语）觉得计算太繁了，此时我把握时机引导学生怎样由繁化简呢？激发了学生的学习兴趣．学生通过观察比较时的两

6、个不等式的左边，不难发现都有这个项，自然就想到利用“”来证明“”这个不等式，（由于学生已掌握了放缩法，于是此问题引发了他们探索的兴趣和热情），马上有学生讲“可以，因为.”那时怎么证呢？（学生自己动手操作），接着下面有学生说难道我们一个一个验证？马上又有人说“这验证得完啊，有无限多个自然数呢．”（这时学生对这个难题产生了强烈的求知欲望和高涨的学习热情，学生觉得那怎么办呢？）．对，很好！验证过程是无限的，但我们观察一下上面的过程就会发现：时结论成立推出时结论也成立，时结论成立也可以推出时结论成立，而且推导方法是一样的，此时学

7、生就想到能否把这个过程一般化，由时结论成立推出时结论也成立呢？这样的教学设计就给学生的自主探索留下了充分的空间．（三）从特殊到一般，引出数学归纳法同学们分组讨论得出“可以，因为，所以接着要求学生对时不通过计算，用这种推导方法推出结论成立．由以上过程可以发现时结论成立时结论成立时结论成立．．．．．．时结论成立时结论成立．．．．．．，而且推导方法都是一样的．问学生怎样把这件事情叙述清楚？（四）总结归纳，得出数学归纳法证题的步骤第一步应该做什么？有学生回答:“假设时，不等式成立，即，再证明时结论也成立．”这样证明对吗？根据这位

8、同学的想法那对（或）成立能不能依靠前一个式子成立的结果呢？显然不能，所以必须独立验证，于是第一步应验证（或）成立．下面请同学们把证明过程写完整．教师指出这种证明方法叫做数学归纳法，并指出数学归纳法中的递推思想在我们的身边到处可见，例如多米诺骨牌的游戏，也可以请学生举一些例子；最后请学生写出用数学归纳法证明一个与正整数