实验八 拉氏正反变换与零极点分析

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1、实验八拉氏正反变换与零极点分析一、实验目的1、掌握利用部分分式展开的方法求解拉普拉斯逆变换，并能利用MATLAB实现；2、掌握利用MATLAB计算拉氏正反变换的函数用法；3、利用复频域系统函数的零、极点分布对连续时间系统的稳定性分析。二、实验原理1、 利用MATLAB中的residue函数可得复杂的复频域表示式F（s）的部分分式展开式，其调用形式为：[r，p]=residue（num，den）其中，num，den分别为F（s）分子多项式和分母多项式的系数向量，r为所得部分分式展开式的系数向量，p为极点

2、。得到结果后再查表即可求得F（s）的拉氏反变换。示例：（教材p264,习题5.8第2小题）求函数的拉普拉斯逆变换。源程序：num=[10];den=[168];[r,p,k]=residue(num,den);运行结果为：r＝2－1p＝－4－2k=[]由运行结果可知，有2个极点，分别是p＝－4－2，所对应的系数向量分别是r＝2－1，因此可得展开式为：再由基本的拉普拉斯变换可知，其拉普拉斯逆变换为：2、MATLAB的符号数学工具箱中提供了计算Laplace正反变换的函数laplace和ilaplace，

3、其调用形式为：F=laplace（f）f=ilaplace（F）上述两式中，右端的f和F应分别为系统的时域表示式（微分方程）和复频域表示式的符号表示式，可用函数sym来实现，调用形式为：S=sym（Ａ）　　　　式中，Ａ为待分析的表示式的字符串，Ｓ为符号数字或变量。例如，Ｓ＝sym（’exp（－t）＊sin（t）’）。3、系统函数通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。其中，分母多项式的根对应着其极点，而分子多项式的根则对应着其零点。若连续系统系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。即系统函数的

4、零、极点分布完全决定了系统的特性。根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。在复频域中，连续系统稳定的充要条件是系统函数的所有极点均位于复平面的左半平面内（此时响应函数是衰减的，可参考第7章第1节P329）。因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。在Matlab中，求解系统函数的零极点实际上是求解多项式的根，可调用roots函数来求出。求出零极点后，可以直接画出零极点图也可以调用pzmap(sys)函数来画出由sys所描述的系统的零极点分布图。roots

5、函数的用法：Examples：求多项式的根，需要先写出多项式系数矩阵p=[10-4]然后用roots函数求根：r=roots(p)r=2-2Pzmap函数的用法：Example：画出的零极点图.H=tf([251],[123]);sgridpzmap(H)三、实验内容和结果1、分别用部分分式展开法求以下函数的拉氏逆变换：（1）(教材p263,习题5.8第12小题)求函数的拉氏逆变换>>num=[05];den=[1144];[r,p,k]=residue(num,den);P=[-1.6653e-0.

6、16+2i;-1.6653-0.16-2i;-1]R=[-0.5-0.25i;-0.5+0.25i;1]（2）　>>num=[12];den=[1430];[r,p,k]=residue(num,den);P=[-3;-1;0]R=[-1/6;-0.5;2/3]　　　　（3）>>num=[1-2];den=[13310];[r,p,k]=residue(num,den);P=[-1;-1,-;1;0]R=[2;i2;3;-2]2、分别利用MATLAB中的laplace和ilaplace函数求：（1）的

7、Laplace变换；>>f=sym('exp(-t)*sin(a*t)');F=laplace(f)F=a/((1+s)^2+a^2)（2）的Laplace反变换。>>F=sym('s^2/(s^2+1)');f=ilaplace(F)f=dirac(t)-sin(t)3、已知连续系统的系统函数，试用Matlab画出系统的零极点图，并判断系统是否稳定。>>H=tf([10-4],[12-321]);sgridpzmap(H)四、实验心得