7-1原长为的弹簧

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1、习题77-1．原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：，在本题中，，所以；∴。取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。所以：即：。7-2．有一单摆，摆长，小球质量，时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角

2、频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）解：振动方程：我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，频率：，周期：；（2）振动方程可表示为：，∴根据初始条件，时：，可解得：，所以得到振动方程：。7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置；由，知，∴，振

3、动频率：；（2）物体在初始位置下方处，对应着是x=0.03m的位置，所以：，由，有：，而，那么速度的大小为：。7-4．一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时，位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知A=0.12m，T=2s，∴又∵t=0时，，，由旋转矢量图，可知：故振动方程为：；（2）将t=0.5s代入得：，，，方向指向坐标原点，即沿x轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于

4、，且向轴负方向运动，如图示，质点从位置回到平衡位置处需要走，建立比例式：，有：。7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在处，且向左运动时，另一个质点2在处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在处，且向左运动时，相位为，而质点2在处，且向右运动，相位为。所以它们的相位差为。7-6.质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：可知浸入

5、水中为a处为平衡位置。以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用来表示，所以力，利用牛顿定律：，再令：，可得：，可见它是一个简谐振动；周期为：。7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：。证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：，考虑到，可得：，所以：代入频率计算式，可得：。7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由，，有：，，（1

6、）当时，由，有：，，∴，；（2）当时，有：∴，。7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)（1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且初相：，初相：，表明两者处于反相状态，（反相，）∵，∴合成振动的振幅：；合成振动的相位：；合成振动的方程：。7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知=0.01m∴

7、A２=0.1m，再利用正弦定理：，有：，∴。说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2。7-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？解：根据阻尼振动的特征，，知振幅：。∵，当时，，可得：，上式两边取对数，得：；那么当振幅减为时，有：，两边取对数，有：，∴。7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求：（1）求振子在水中的振动周期；（2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开

8、始到振子静止求振子经过的路程为多少？解：（1）有阻尼时：，而，过一个周期，振幅降为原来的90%，有：，可求得：，代入，有：（2）由题意可列出等比数列：，，，则：∴。7-13．试画出和的李萨如图形。解：∵，∴又∵，可参考书上的图形。7-14.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1）；（2）；（3）。试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频