华师一附中2015年自主招生考试数学试卷(有解析)

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1、华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟卷面满分:150分一.选择题（6分×6=36分）1,如果实数在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为【解析】由图知,故,选D.2.反比例函数的图象与直线交于两点,则△OAB的面积为【解析】（补形）.故有A（－1,4）,B（－4,1）.作AE⊥y轴于E,BD⊥x轴于D.可知：△AOE≌△BOD.且.延长EA,DB交于C,则四边形CDOE是边长为4的正方形,且△ABC是腰长为3的等腰直角三角形,且.于是△OAB的面积为3.设是一元二次方程的

2、两根,则等于A.－4B.8C.6D.0【解析】（降次）由韦达定理:,故选A.4.已知的三边长,且满足,则△ABC是A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知的三边长,且满足,则△ABC是⋯.【解析】由条件得:.故△ABC是等腰直角三角形,选B.5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面

3、上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD的外接圆O,这里AB∥CD且CD=40,AB=80.设此等腰梯形的对称轴交AB于M,交CD于N,则MN=80.∵AB>CD,∴OM

4、E,当点D由B点沿运动到点C时,点E经过的路线长为【解析】（轨迹法）如解图,连结OB,分别在上取其中,则相应的动点依次为.故点E的轨迹是OB为直径的优弧.已知BC=36,∴是含30°角的直角三角形,∴.设M为OB的中点（优弧圆心）,连MN.则圆M的半径MB=.注意到∠BOC=120°,∴∠BON=60°,∠BMN=120°,优弧之长为圆M周长的,故选B.二.填空题（7×7=49分）7.方程的所有根的和为【解析1】.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4.即【解析2】由原方程得:.8.在5瓶饮料中,有2瓶已

5、过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为【解析】（正繁则反）由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为9.关于x的方程无解,则的值是【解析】由原方程得:关于x的方程（1）只有唯一解,代入（1）得,此时原方程无解;又在方程（1）中令得.矛盾.此时方程（1）无解,从而原方程无解.故若原方程无解,则必.10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发

6、现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x（h）,两车之间的距离为y（km）,y与x的函数图象如图所示,则【解析】慢车12.5小时走完全程,设快车速度为t（h）∵1小时后两车相距800km,即1小时两车共行200km,∴t=120km（h）∵a小时后两车相遇,此时慢车走80akm,快车走120（a－1）km,故有:11.已知的最小值为－23,则=【解析】原式配方得:,抛物线开口向上且对称轴为.当,故当时,y

7、随x增大而减小.故当x=3时有:12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,都是斜边在x轴上,且斜边长分别为2,4,6,⋯的等腰直角三角形.若的顶点分别为则依图中的规律,的坐标为【解析】注意到点全在x轴上,设其横坐标依次为..继续分析.点都在原点右边,其横坐标取正值,点都在原点左边（其中为原点）,其横坐标取0或负值（其中仅横坐标为0）.∵2015=4×504－1,故必在原点左边,其横坐标必为负值.易求,故所求点A的坐标为:.13.有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个

8、新的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为cm,左,右边衬都为cm,那么【解析】依题意有:（据等比定理）故又:（1）代入（2）：解得：,从而.三.解答题14.（14分）已知m,n是方程的两根,（1）求的值;（2）求的值【解析】（1）∵故.（2）m,n是方程的两根,设,则=7.15.（15分）如图,△ABC中,AC=BC,I为△ABC的内心,O为BC上一点,过B,I两点的