大魔群的历史与发展

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1、万方数据《自然科学史研究》第28卷第l期(2009年)：38—47StudiesintheHistoryofNaturalSciencesV01．28No．1(2009)大魔群的历史与发展胡俊美邓明立(河北师范大学数学与信息科学学院，石家庄050016)摘要有限单群分类定理的证明是本世纪初取得的一项重大成就。作为有限单群中最大的散单群，大魔群自20世纪70年代就以其复杂的结构和迷人的性质受到广泛关注。文章介绍了人们对大魔群求索与认知的过程，分析了它与数学其他学科乃至物理学的关系。关键词有限单群分类定理散单群大魔群费舍尔格瑞斯中图分类号N091：K856．1l文献标识码A文章编号1000—02

2、24(2009)01．0038．10数学家外尔(H．Weyl，1885--1955年)曾说过，20世纪是抽象代数学的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。群论作为抽象代数学的核心，是现代数学中最具生命力的一种理论，早在19世纪末就已成为数学统一性的象征，在物理、化学等领域起着重要作用。20多年前，当本文的主题——大魔群(monster)首次在数学中露出真相时，普林斯顿物理学家戴森(FreemanDyson，1923年一)写道：“我内心有一个不被任何事实或证据支持的希望，也就是希望21世纪的物理学家能够在宇宙结构中以意想不到的方式偶然发现大魔群”【lJ。这说明了大魔群的重要地位。1998年，3

3、9岁的剑桥大学数学家博彻兹(R．E．Borcherds，1959年一)荣获菲尔兹奖，他的主要贡献与大魔群有关，证明了所谓的魔群月光(monsterousmoonshine)猜想，并发现该猜想与李代数和量子场论等一系列主流问题密切相关。那么，什么是大魔群，大魔群又是在怎样的背景下产生的?这还要从本世纪初取得的重大成就——有限单群分类开始谈起。1背景所谓有限单群就是不含非平凡正规子群的有限群。正如素数是构成正整数乘法的收稿日期：2008—07一ll；修回日期：2008-08·19作者简介：胡俊美，女，1979年生，河北丰润人．河北师范大学数学与信息科学学院博I：研究生，主要从事代数学及近现代数学

4、史研究；通讯作者邓明立，1962年生，河北辛集人．河北师范大学数学与信息科学学院教授，主要从事代数学及近现代数学史研究。基金项目：国家自然科学基金(项日编号：10671053)万方数据1期胡俊美等：大魔群的历史与发展39“原子”或“积木块”一样，有限单群宛如有限群的原子或积木块，是有限群结构的基石，因此确定出所有有限单群无疑具有重要的意义。2004年，有限单群分类随着美国数学会对阿什巴赫尔(M．Aschbacher，1944年一)和史密斯(S．D．Smith，1948年一)关于偶特征拟薄单群手稿[21的发表而真正实现。有限单群分类定理是说，每个有限单群都属于且只属于下面一种类型：(1)素数阶

5、循环群Zp(P为素数)；(2)5次及5次以上的交错群A。(n35)；(3)李型群；(4)26个散单群。这个定理的证明可以说是一项典型的集体攻坚成果，由来自世界各地的上百名数学家经过了上百年的时问(当然主要集中在1950--1980年，称为三十年战争)才完成，手稿长达15000多页。在群论圈中，该定理亦以“庞大定理”著称。素数阶循环群z。是最早知道的一类单群，也是仅有的交换单群系列。19世纪30年代初，法国数学家伽罗瓦(皂．Galois，1811—1832年)在研究一般五次及五次以上的方程可否根式解时注意到了一个不可交换的有限单群无限系列，即交错群A。(凡≥5)。1870年，法国数学家若尔当(

6、C．Jordan，1838--1922年)发表《置换与代数方程专论》，这是他关于群论的第一部著作，引入了特殊射影线性群眦(r／,，P)、正交群O(／7,，P，Q)、辛群印(2n，P)和酉群U(n，P)，并证明其中的许多群或指数为2的子群为单群。30年后，美国数学家迪克森(L．E．Dickson，1874—1954年)系统推进了若尔当的工作，他把若尔当的单群从素数阶域推广到任意有限域上，随后又得到G：(q)和瓯(q)，并证明其为单群。迪克森的方法非常特殊，很难看出它们之间的统一性，即便如此，在其后50年的时间里，一直没有人能够超出他的研究范围，得到更多的有限单群。真正突破性的工作来自法国数学家

7、谢瓦莱(C．Che,vaUey，1909--1984年)，1955年，他在《东北数学杂志》上发表论文《关于某些单群》¨J，通过有限群与有限维复李代数之间的对比，用一种全新的、统一的观点来观察和处理问题，不仅构造出过去已知的大部分单群，还得到新的有限单群无限系列，开创了有限李型群的现代工作。后来，美国数学家斯坦伯格(R．Steinberg，1922年一)、日本数学家铃木通夫(M．Suzuki，1926--199