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《具有平方、立方非线性项的耦合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、应用数学和力学,第22卷第8期(2001年8月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000-0887(2001)08-0817-08具有平方、立方非线性项的耦合X动力学系统1∶2内共振分岔陈予恕, 杨彩霞, 吴志强, 陈芳启(天津大学机械学院力学系,天津300072)(我刊编委陈予恕来稿)摘要:对一类具有平方、立方非线性项的耦合动力学系统1∶2内共振情形进行了研究· 首先,用直接方法求出该系统1∶2内共振时的NormalForm,该系统的NormalForm中,不仅含有平方非线性项,同时还含有立方非线性项·
2、 通过采用适当的变量变换,将4维分岔方程约化成3维,进而得到单变量4次分岔方程· 最后用奇异性理论,研究了一类普适开折的分岔特性· 该方法可用于4维中心流形上流的强内共振时的分岔行为分析· 关 键 词:平方立方非线性;NormalForm;1∶2内共振分岔中图分类号:O193;O177191文献标识码:A引 言从90年代起,非线性动力系统理论向高维和分析工程科学、自然科学和社会科学等部门实际系统中复杂动力学行为发展,成为非线性科学研究的热点· NormalForm理论作为简化方程的手段,给出了微分方程组在平衡位置或周期运动附近可能化成的最简形式,因而显著地简化了高维非线性动力
3、学系统的求解和研究分岔问题的过程,同样地简化了所得结果的论证和分析· [1][2]A.H.Nayfeh研究了具有平方非线性项的1∶2内共振;W.F.Langford研究了具有平方、[3]立方非线性项的1∶1内共振;W.F.Langford研究1∶2内共振时NormalForm只取到2阶;吴志[4]强导出了直到3阶的非半单1∶1内共振分岔NormalForm系数的表达式以及更高阶Normal[5]Form系数的求解公式,推导了多重非内共振Hopf分岔的NormalForm计算公式· 陈芳启等研究了单自由度参激系统4阶分岔方程的普适开折问题· 从现有文献看,并没有包括同时含有平方非
4、线性项及立方非线性项的1∶2内共振情况的[6,7]分岔分析,而这类方程在工程实际中却大量存在,因此有必要对此类情况进行研究· 本文根据Poincaré共振定义,对1∶2强内共振NormalForm的形式进行了计算;然后通过适当的变量变换技巧,由4维分岔方程降成3维,采用消元法得到单变量的4阶分岔方程;并用X收稿日期:2000-05-08;修订日期:2001-03-15基金项目:国家重点基础研究专项经费资助(G1998020316);国家自然科学基金资助项目(19990510);教育部博士点基金资助项目(D09901)作者简介:陈予恕(1931—),男,山东肥城人,教授,博士导师
5、,俄国应用科学院国外院士.817©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.818陈予恕 杨彩霞 吴志强 陈芳启奇异性理论进行了普适开折和动态行为的分岔分析· 如果一个高维非线性动力学系统,在某一组参数值时具有成1∶2关系的两对纯虚根,首先可用中心流形定理将之化到4维中心流形上,然后可用本文建议的方法分析其局部分岔特性· 11∶2强内共振时NormalForm现有非线性动力系统kny′=f(y)f∈C(R),(1)通过一系列近恒等的非线性坐标变换y=x+pk(x)(k=2,⋯,l-1),(2
6、)可将方程(1)化为正规形· 在非共振情况下,该非线性方程可线性化· 而在共振情形,则只存在共振的非线性项· 上述经典方法,由于在变换过程中,需要计算一个同调算子,而该同调算子的维数随着所求阶数的升高而增加很快,因而中间过程极为烦琐· 吴志强在文[4]中采用了一种特殊的近恒等变换,提出了求NormalForm的直接方法,由于避免了推导同调算子时进行的多项式矩阵的求逆;将中心流形和求NormalForm的推导综合起来,所求解的方程的维数,不会随着所求非线性项阶数的升高而增大,只需求解与原系统同维数的方程· 本文研究的方程,是我们用拉格朗日方程建立的某航天结构刚柔耦合多自由度系统的
7、非线性动力学方程,经一系列简化处理,并用中心流形定理约化而成的两自由度的4维方程[6]组· 对于汽轮发电机组,当考虑对称柔性单跨转子时,轮盘处的两个自由度与轴颈处的两个自由度构成一个4自由度系统,满足1∶2内共振条件时,其运动学方程形式上与本文所研究的方程一致· 现有两自由度1∶2耦合系统的运动方程:2223¨x+x+δÛx+εk1y+εc1Ûy=xy+xÛxy+Ûxy+y+xy+x=f1,¨y+(4+μ)y+δc2Ûy+k2x+c3Ûx=(3)22232xy+xÛxy+2Ûxy+3y+xy
