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《计算方法2线性方程组直接法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章解线性代数方程组的直接法本章研究的对象是n阶线性代数方程组对象(2.1)线性系统广泛存在于工程、科学以及社会科学、商业和经济问题的定量分析等领域中用矩阵和向量的记法来表示，(2.1)式可写成(2.2)其中A＝(aij)是方程组(2.1)的系数aij构成的n×n阶矩阵，称为系数矩阵。B＝{bi},X＝{xi}是n维向量，X是未知量，B称为右端项。使方程组(2.1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*,…,xn*称为式，(2.1)的解，把它记为向量的形式，称为解向量。克莱姆(cramer)法则如果方程组(2.1
2、)的系数矩阵A的行列式不等于零,那么,这个方程组有唯一解,而且它们可以表示为按上面的等式求解,就要做N=(n2-1)n!+n次乘除法运算,这个计算量是大得惊人的.例如,当n=10时，乘除法的运算次数共为32659210次当n=100时，1033次/秒的计算机要算10120年;解线性方程组的方法可以分为2类：①直接法：在没有舍入误差的情况下，用有限步的四则运算得出精确解的方法。目前常用的是列主元消去法和矩阵三角分解法②迭代法：先给一个初始值，按一定法则逐步求解出各个更准确的近似值的方法。本章讲解直接法准确，可靠，理论上
3、得到的解是精确的速度快，但有误差2.1消元法我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：①n次运算②（n＋1）n/2次运算③（n＋1）n/2次运算对方程组（2.1)，作如下的变换，解不变①交换两个方程的次序②一个方程的两边同时乘以一个非0的数③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程上因此，对应的对增广矩阵(A，B)，作如下的变换，解不变①交换矩阵的两行②某一行乘以一个非0的数③某一个乘以一个非0数，加到另一行消元法就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的3种类型之一，而后求根2.2高斯消去法(Gaus
4、sianelimination)首先将A化为上三角阵，再回代求解=高斯消去法的求解过程分为两个阶段:首先，把原方程组化为上三角形方程组，称之为“消元”过程；然后，用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解，并称之为“回代”过程。消元：将(2.1)式写成矩阵形式(2.3)(2.4)第1步:若a11(1)≠0，用第二个方程减去第一个方程乘以a21(1)/a11(1),用第三个方程减去第一个方程乘以a31(1)/a11(1)…则有矩阵形式(2.5)(2.6)第2步:若a22(2)≠0，用第三个方程减去第二个方程
5、乘以a32(2)/a22(2),用第四个方程减去第二个方程乘以a42(2)/a22(2)…则有矩阵形式(2.7)(2.8)第k步:若akk(k)≠0，用第k+1个方程减去第k个方程乘以ak+1k(k)/akk(k)…则有矩阵形式(2.9)(2.10)重复n－1次，得到等价的上三角形方程组矩阵形式(2.11)(2.12)以上过程把系数矩阵A(1)变成上三角矩阵A(n)，称之为消元，计算公式可归纳为(2.13)回代(2.12)2.3主元素消去法因此，x1＝0x2＝1因此，x1＝1x2＝1精确解，x1＝10000/9999
6、x2＝9998/9999在做除法运算时，选取绝对值大的作分母。——主元素消去法的基本思路。列主元素消去法列主元素消去法基本思想1.用高斯消去法求解线性方程组时,应避免小的主元.在实际计算中,进行第k步消去前,应该在第k列元素aik(i=k,…,n)中找出绝对值最大者,例如∣a∣=max∣a∣2.再把第p个方程与第k个方程组进行交换,使apk(k-1)成为主元.我们称这个过程为选主元素.由于只在第k列元素中选主元素,通常也称为按列选主元素(或称部分选主元).3.如果在第k步消去前,在第k个方程到第n个方程所有的xk到x
7、n的系数a(i=k,…,n;j=k,…,n)中,找出绝对值最大者,例如∣a∣=max∣a∣再交换第k,p两个方程和第k,q两个未知量的次序,使a成为主元素.称这个过程为完全选主元素。4.不论是哪种方式选出主元素,而后再按上面介绍的计算步骤进行消去的计算,一般都称为主元素高斯消去法。在实际计算中,常用按列选主元素的高斯消去法。(k-1)(k-1)pk(k-1)ikk≦i≦n(k-1)pq(k-1)ijk≦i,j≦n(k-1)ij(k-1)pq高斯消去法的乘除总运算分析如下：消元次数k消元乘法次数消元除法次数回代乘除法总
8、次数1n(n-1)n-12(n-1)(n-2)n-2...k(n-k+1)(n-k)n-k..n-12*11n(n+1)/2故高斯消去法的计算量为N=n(n2-1)/3+n(n-1)/2+n(n+1)/2=n3/3+n2-n/3当N充分大时为n3/32.4高斯消去法的计算量方法的特点全主元素法的精度优于主元素法,这是由于全主元素是在全体系数中选
