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1、初三奥数问题精选1.k、a、b为正整数，k被a^2、b^2整除所得的商分别为m、m+116.（1）若a、b互质，证明a^2-b^2与a^2、b^2都互质。（2）当a、b互质时，求k的值。（3）若a、b的最大公约数为5，求k的值。答：(1)、用反证法。设a^2-b^2与a^2有公约数g(g≠1),且a^2-b^2＝g*X,a^2＝g*Y则b^2=a^2－(a^2-b^2)＝g*Y-g*X=g*(Y-X)因此a^2、b^2有公约数g,但a、b互质，则a^2、b^2互质，从而出现矛盾！所以a^2-b^2与a^2互质。同理可证a^2-b
2、^2与b^2也互质。(2)、由k=m*a^2和k=(m+116)*b^2，得m*a^2=(m+116)*b^2整理得，m=116*b^2/(a^2-b^2)由于b^2与(a^2-b^2)互质，所以116能被(a^2-b^2)整除。即116＝p*(a^2-b^2)【p为正整数】由于116＝1×2×2×29，a^2-b^2=(a+b)*(a-b)且要保证(a+b)与(a-b)同奇或同偶，只能p=1,a+b=58,a-b=2或者p=4,a+b=29,a-b=1第一种情况解得a=30,b=28，与a、b互质的条件矛盾，故舍弃。第二种情况
3、解得a=15,b=14则m=116*b^2/(a^2-b^2)=116*14^2/(15^2-14^2)=784k=m*a^2=784*15^2=176400(3)、a、b的最大公约数为5，设a=5*Ta,b=5*Tb（Ta,Tb互质）则m=116*b^2/(a^2-b^2)=116*Tb^2/(Ta^2-Tb^2)由上面的结论，Ta=15,Tb=14,m=784a=5*Ta=75,b=5*Tb=70k=m*a^2=784×75^2=44100002.函数y=根号（x^2+9）+根号(x^2-8x+17)的最小值。答：y=√(x
4、²+9)+√[((x-4)²+1]可以看成是：x轴上的点（x，0）到点（0，3）和到点（4，1）的距离和。点（0，3）关于x轴的对称点为（0，-3）点（0，-3）到点（4，1）的距离为最小值=√（4²+4²）=4√23.以知抛物线Y=AX的平方+BX+C与X轴交于不同的两点A（X1，0）和B（X2，0），与Y轴的正半轴交于点C，如果X1，X2是方程X的平方-X-6=0的两个根（X1《X2），且三角形ABC的面积为15/2，（1）求此抛物线的解析式（2）求直线AC，BC的方程解：(1)解方程x^2-x-6=0，得x1=-2,x2=
5、3∴A(-2,0),B(3,0)设C点坐标为（0,y0）SABC=1/2×AB×y0=1/2×5×y0=5y0/2=15/2∴5y0=15,y0=3∴C(0,3)将A,B,C坐标带入抛物线方程，4a-2b+c=0,9a+3b+c=0,c=3解之，得a=-1/2,b=1/2,c=3所以抛物线的解析式为y=-1/2x^2+1/2x+3(2)设AC:y=a1x+b1,BC:y=a2x+b2将A,B,C坐标带入：0=-2a1+b1,3=b1解之，得a1=3/2,b1=30=3a2+b2,3=b2解之，得a2=-1,b2=3所以直线AC的
6、方程为y=3x/2+3,直线BC的方程为y=-x+34.某工厂2009年初投资100万元生产某种新产品，2009年底将获利的利润与年初的投资的和作为2010年初的投资，到2010年底，两年共获利润56万元。已知2010年的年利率比2009年的年利率多10个百分点，求2009年和2010年的年利率各是多少？解：假设2009年的年利率为X，2010年的年利率为Y，则：Y-X=0.1，所以Y=X+0.1又因为56=100*（1+X）*（1+Y）-100，所以（1+X）*（1+Y）=1.56，所以（1+X）*（1.1+X）=1.56，所
7、以1.1+2.1X+X平方=1.56，所以X平方+2.1X-0.46=0，即（X+2.3）(X-0.2）=0，所以X=-2.3（年利率不为负）或0.2，所以X=0.2，所以Y=0.34.已知x、y、z是三个非负实数，满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为要使S取最大值，2x+y最大，z最小，∵x、y、z是三个非负实数、z是三个非负实数，∴z=0，解方程组，解得：，∴S的最大值=2×1+1-0=3；要使S取最小值，联立得方程组，（1）+（2）得4x+3y=7，y=，（1）-（2）×2
8、得，x+3z=1，z=，把y=，z=代入S=2x+y-z，整理得，S=x+2，当x取最小值时，S有最小值，∵x、y、z是三个非负实数，∴x的最小值是0，∴S最小=2，∴S的最大值与最小值的和3+2=5．5.在一列数X1，X2，X3…中，已知X1=1，当k大于或等
