构造相似辅助线----双垂模型

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1、1.如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P的运动时间为t（秒）． （1）求点A和点B的坐标． （2）当t为何值时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8？ （3）是否存在以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；

2、若不存在，请说明理由． 答案： 解：（1）由题意得：A为y=-x+7与交点 联立得，解得第5页共5页 ∴A(3，4) ∵B为y=-x+7与x轴交点 ∴B(7，0) （2） ① 如图1所示，当0≦t≦4时，点P在线段OC上 则P(0，t)，R(7-t，0) ∵A（3，4），AC⊥y轴 ∴AC=3，OC=4 ∵OP=t ∴CP=4-t ∴S△ACP== ∵BR=t，OB=7 ∴OR=7-t ∴S△OPR== ∴S△APR=S梯形ACOR-S△ACP-S△OPR = = 若S△APR=8，则第5页共5页=8，即t=2或t=6（舍） ② 如图2所示，当4

3、7时，点P在线段AC上 ∵OC+CP=t，OC+AC=7 ∴AP=7-t ∴S△APR==-2t+14 若S△APR=8，则-2t+14=8，即t=3（舍） 综上，t=2时，S△APR=8. （3）存在 ① 如图3所示，当0≦t≦4时，点P在线段OC上，过A作AD⊥x轴于点D， 则OD=AC=3，AD=OC=4 ∴OA=5，BD=OB-OD=4 ∴∠ABO=45° ∴AB=第5页共5页 ∵l∥y轴 ∴QR=BR=t ∵OP=t ∴PQ∥x轴 此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ 在Rt△ACP中，AC=3，CP=4-t， ∴ 在Rt△BRQ

4、中，∠QBR=45° ∴QB=，== 若AP=AQ，则t=1或t=7（舍） ② 如图4所示，当4