127 当粒子处在三维立方势箱中(a=bc),试求能量最低的 …

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1、1.27当粒子处在三维立方势箱中(a=b

2、n1,n3xyz22hh9E222（非简并态）48mamca当EE即31时为i情况；228ca当EE22即38时为ii情况；c当EE22即ac38时体系为三重简并。1.28.写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。解：22HTVVr()2m22222222111cot222222222xyzrrrrrrsin221211[(r)(sin)]Vr()E22222mrrr

3、rsinrsin其中(,,)rRr()()()Vr()0;ra;Rr()，()均为实数函数222222maEE即022222ma上式即为满足题意的薛定锷方程。in上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：AeA(cosnisinn)通过波函数归一化可求得A值，即：2222inin2inin2dA(e)edAeed2A1000故：A12由边界条件知：()(2)即：11(cosn

4、isinn)[cosn(2)isinn(2)]22必须有n0,1,2,，即n必须为整数。1in综上，方程的解为：e(n0,1,2)22222maEn又nE(n0,1,2)222ma1.30一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度10cm）（1）氧分子的基态能量是多少（2）设该分子T＝300K时平均热运动能量等于3/2kT，相应量子数n为多少？(3)第n激发态与第n+1激发态能量相差多少？22nh解：⑴一维势阱的能量表达式为E其中：l0.1,mm32m5.352

5、51026kg2p8ml40当n1时，体系处于基态，能量为EJ1.0251032321⑵T＝300K时分子具有的能量为EkT1.51.381103006.214510J228mlE9故n7.785102h(3)[(n1)2nh2]2(2n1)h230EJ1.6102288mlml1.32若用二维箱中粒子模型,将蒽(C14H10)的π电子限制在长700pm,宽400pm的长方箱中,计算基态跃迁到第一激发态的波长.解：2222hnxnyh4222二维势箱中粒子能量的表达式为：EEx

6、Ey(22)2[()nxny]8mab8mb7对于蒽分子共有14个π电子，基态要占据能量最低的7个轨道，那么基态跃迁到第一激发态即为轨道78的跃迁。根据粒子能量表达式，可以得到蒽分子在二维箱中，能级图为：22hh42242109EEE[()51()94]87228mb77392mbcEh2ch109h即2392mb2311028392mbc3929.1110(410)2.9981072.3710m237nm34109h1096.62610