必修2 1.3空间几何体表面积、体积知识点

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1、必修21.3空间几何体的表面积、体积例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.图6分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.因为BC=a,SD=,所以S△SBC=BC·SD=.因此，四面体S—ABC的表面积S=4×.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.6解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱

2、的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=，根据圆锥的侧面积公式得：S圆锥侧=πrl=π·r·.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为()∶［·2h］∶［·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B3.三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C

3、1，则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是（）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长为15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升）图7解

4、：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［］-π()2≈1000(cm2)=0.1(m2).涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1000毫升油漆.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50cm，横截面半径为10cm的圆柱形刷子给一块面积为10m26的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1πm2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚

5、动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5πm2，因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒.2.已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是(x-2)2+，由于x＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值.答案：例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8kg,已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=×1

6、22×6×10-3.14×()2×10≈2956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，6图10在△ABG中，∵EH∥BG，∴.∵AH=2分米,∴.∴r=分米.∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V水=·3［()2+×4+42］=立方

7、分米,∴所用的时间为≈36.69秒.答：所用的时间为36.69秒.自我测试1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）A.B.64C.16D.96分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.答案：B2.如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l，则l==2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长