晶体学基础郑启泰讲稿清华

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1、几何晶体学基础吕扬　郑启泰中国医学科学院药物研究所国家药物及代谢产物分析研究中心2005年9月20日目录一图形移置二图形对称三晶体中的对称元素1晶体与非晶体2晶体的特征对称元素3晶体的宏观对称元素4晶体的微观对称元素四有限图形与无限图形的对称元素组合定理1概述2基本组合定理3对称群及其表示(几何学，代数学)五32点群与47单形六14平移群与14平移点阵七230空间群八结语一、图形移置移置系指研究相等图形之间的相互位置的问题。如果相互关联的两个相等图形有相同的定向，则称迭合相等；如果相互关联的两相等图形有相反定向，则称对映相等。

2、在三维空间的几何图形移置总共含有以下八种类型：1平面反映若移置图形的对应点连线垂直于平面并被平分，且互为对映镜像，称为平面反映移置，由它联系的两个图形互为对映相等(图)，此类移置称为第二类移置。如图中的定向四面体：2点反射(倒反)被移置图形的对应点连线被一点(反射点)平分，二图形互呈对映镜像(图)，为第二类移置。3旋转相等图形(A与A´)中的对应点连线垂直于旋转轴(N)且与轴呈相等距离，处于同一平面内，称为第一类移置。呈迭合相等图形。4.1旋转反映图形移置包含两个步骤：先进行以N为轴的旋转(2/N)，然后再以垂直于N轴的平面进

3、行反映(图)，该移置称为旋转反映。由此关联的图形呈对映相等，属第二类移置。4.2旋转反射图形移置包括两个步骤，先进行以N为轴的旋转(2/N)，然后再以轴上的一点倒反(图)，该移置称为旋转反射。由此关联的图形呈对映相等，属第二类移置。且所有连接对应点的线段均被倒反中心平分。5平移图形从起始位置按给定周期移置，该移置称为平移，相关联的图形为叠合相等，属第一类移置。6滑移反映移置含有两个步骤:图形先经平面反映，相继进行平行于平面的平移，该移置称为滑移反映移置。相等图形互呈对映相等，属第二类移置。7螺旋旋转包含两个移置步骤：先绕N轴旋

4、转2/N，然后在沿N轴方向平移t/N(t为整数，等于(N-1)/N)，该移置称为螺旋旋转移置，相关的图形为叠合相等，属第一类移置。8恒等(不动)移置为绕N轴旋转2(即不动)的移置。显见为第一类移置。第一类移置：包含平移，旋转(含恒等)，螺旋旋转，图形为迭合相等；第二类移置：倒反，平面反映，旋转反映，旋转反射，滑移反映，图形为对映相等。二图形的对称1图形的对称特征任何一个对称图形可分为若干个相等部分；而且在图形移置中包含有至少一个不动的几何元素(点、线、面)。则对应的几何元素定义为：倒反(对称中心)、对称面(反映面)、对称轴、

5、反轴、平移、螺旋轴、滑移面共七类。2对称是图形移置的特例系指移置后的图形是其自身重复。对称是图形移置的特例。虽然上述描述仅仅是从几何学入手的一种方法，但具有直观、形象、几何关系清晰等特点。如果把实现图形对称变换过程中不动几何元素视为基本元(要)素，那么这些对称元素就能组合成一定的集合－群。对称是物质世界的基本几何属性，它是在一定的测量精度范围内的一种相对规律。比如平移对称元素就是这一相对规律的最好例证。晶体对称性是在晶体这种特定的物质图形上的具体反映。这是从几何学角度认识图形对称性质的方法。若一个图形可分为若干个相等部分，经移置

6、后能自身重复，同时图形中含有不动的几何元素(点、线、面)，则称该图形具有对称性。不动的几何元素就称为对称元素。在传统的几何晶体中可概括为：对称轴N、对称面m、反轴-N、对称中心-1、平移T、螺旋轴Nt与滑移面mt，字母所示为相应的国际通用符号。3.1对称操作如图所示(正三角形、正方形)几何图形经过某一对称元素操作后，图形自身重复，此操作称为对称操作。在完成几何图形的对称操作过程中，图形中任意两点间的距离不变。如果几何图形在移置中至少有一点不动，则称为点操作；否则称为空间对称操作。3对称操作与对称变换3.2对称变换如果将图形抽象为

7、一个几何点，并且引入一个参考系(坐标系)，使坐标轴(系)与对称元素形成一定的联系。如包含3(或6)次轴的坐标系，要求3(或6)次轴平行于坐标系的Z轴。此时一个几何图形的对称操作(几何学)就表现为在OXYZ坐标系中，诸点间(A→A´→A´´→A´´´)的变换，这一变换的特点不是以图形表示而是以他们在坐标系中的点位置(xyz)，(x´y´z´)来形成一个点系，并以符号的形式记录下这一对称操作过程，称之为对称变换。它是实正交变换中的一个重要内容。相应于图形(晶体)对称操作的点系对称变换是掌握实正交变换的一个经典实例。三晶体中的对称元素

8、1晶体与非晶体自然界中的各种元素以及由它们形成的各类化合物，通常以三种聚集态出现：固态、液态、气态。以固态形式存在的物质是由原子(或离子、分子)在三维空间的堆积形成。如果原子(或离子、分子)是按照一种确定的方式在三维空间做严格的周期性的排列，即相隔一定的距离(即