弹性力学指导书(东大)

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1、-弹性力学指导书(东大)第一章绪论§1-1弹性力学的内容，学习方法和地位作用。弹性力学研究弹性体由于受外力作用，边界约束或温度改变等原因而发生的应力，应变和位移。材料力学是基于平面假设的微段分析法。弹性力学应用高数，将弹性体划分为微元，研究其平衡方程，变形几何方程、协调方程，边界条件，物理方程，求解得到应力、应变和位移。是深入进行工程结构研究、设计、建造和管理必备的力学基础。§1-2弹性力学中的几个基本概念体力：分布于物体体积内（单位体积内的力）面力：分布于物体表面（单位面积上的力）线应变：ε=ΔL/L,单位长度线段的伸缩，以拉为正（

2、常用单位：微应变με）剪（切）应变：二线段间直角的改变（本书以应变减小为正）§1-3弹性力学的基本假定（1）连续性——致密无空隙的连续体。（2均匀性——如混凝土，只要每种材料颗粒远小于物体且在物体内均布，也可认为均匀的（3）各向同性——各方向力学性质相同。但研究方法和结果可推广运用于层状弹性体等。（4）完全弹性——应力和应变成正比，服从胡克定律。（5）小变形条件——可按照变形前的尺寸建立平衡条件。可略去高阶微量而得到一系列方程，叠加原理适用。第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题（图2-1,图2-2）一、平面应力问

3、题：平板中面内受力问题，板面上无外力且板较薄，可认为仅有xy面内的三个应力,平面应力问题因此得名。二、平面应变问题：沿轴向平行于横截面的荷载、约束无变化的无限长柱体问题。（1）横截面都是对称面，没有方向位移。31学府信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)（2）横截面间的距离不变，所以，平面应变问题因此而得名（一般）（3）由对称条件及剪应力互等定理。由上述三点，平面应变问题也可取厚变为1单位的薄片来研究。§2-2平衡微分方程（图2-3）用平行于坐标轴的一组平面截取单元体，取任一点C的单元体研究其平衡得：31学府

4、信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)（剪应力互等定律）31学府信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)（平衡微分方程）导出上述方程的平衡方程的展开式：§2-41.几何方程（图2-5）[P点x方向线应变εx，y方向线应变εy,剪应变γxy]2.相容方程（协调方程，变形连续方程）不是独立的，必须满足下列相容方程，才能保证几何方程求得的位移客观存在。几何方程中分别对和求二阶导数即得：§2-5物理方程（广义胡克定律）31学府信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)三个

5、弹性常数间关系：（2-10）对平面应力问题代入上式：（2-12）用应变表示应力：并写成矩阵形式：（2-13）简写为[]=[D][]式中弹性矩阵2、对平面应变问题：由代入得：式中31学府信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)可见：在平面应力问题的物理方程中，用代替，用代替，即得平面应变问题的物理方程。§2-6边界条件（图2-4）1应力边界条件：由面力边界的微元平衡得出(斜截面应力状态由内部三角形体平衡得出)设微元斜边长，各面力分量法线方向余弦2位移边界条件3混合边界条件有二：①一部分边界已知位移部分边界已知面力

6、；②同一边界上某方向已知位移另方向已知面力。§2-7圣维南原理当外力等效变换，近处的应力分布有显着改变，而远处的影响可不计据此S次要边界S上精确边界条件（难以满足）:可用下述近似边界条件代替（容易满足）：边界面力:边界集中力:§2-8按位移求解平面问题以位移为基本未知量，满足平衡方程、应力边界条件和位移边界条件，解出后用几何方程求应变（相容方程自然满足），再用物理方程求应力。几何物理方程代入平衡方程（2-18）31学府信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)几何物理方程代入应力边界条件(在上)（2-19）例：图

7、示杆件自重fy=ρg,设泊松比μ=0，u=0，试用位移法解。解由基本方程（2—18）积分得再积分由边界条件（2—19）第一式：0=0；第二式中y=h得:则A=由已知位移边界条件：（V）Y=0=0得出B=0代入有再由几何方程得由物理方程得：§2-9按应力求解平面问题（假设全部为应力边界条件）：必须满足平衡方程，应力边界条件和相容方程，再用物理方程求应变，几何方程求位移。（多联域中还须满足位移单值条件）胡克定律代入相容方程，平衡方程求导后相加代入相容方程中消去含项，得应力表示的相容方程：（2-21）§2-10常体力时按应力求解平面问题。艾

8、里应力函数常体力时相容方程成为或写成(2-23)平衡方程解=特解+齐次通解特解：或31学府信息论坛免费下载资源Xuefu.info-弹性力学指导书(东大)齐次方程通介则必有那未齐次通介(k)平衡方程全解：（2-24）2（