导数的综合应用(理)

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1、导数的综合应用课前自测1.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是_____________2.已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为______3.已知f(x)＝则方程f(x)＝2的实数根的个数是___________4.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是___________5.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围是___________典型例题例1．某公司决定采用增加广

2、告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x(百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数y1＝－2x2＋14x(百万元)来计算；每投入x(百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y2＝－x3＋2x2＋5x(百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：≈1.414，≈1.732)例2．已知向量a＝(x2－1，－1)，b＝(x，y)，当

3、x

4、＜时，有a⊥b

5、；当

6、x

7、≥时，a∥b.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(3)若对

8、x

9、≥，都有f(x)≤m，求实数m的最小值.例3．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围随堂练习1．已知曲线y=x3+,则在点P(2,4)的切线方程是___________________.2．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为__________3.设底为等边三角形的直棱

10、柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为___________课后研学1在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是_______________2已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是________3设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为____________4设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为___________5若函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a

11、>0时，f(a)与eaf(0)之间的大小关系为_____________6已知m<0，f(x)＝mx3＋x，且f′(1)≥－12，则实数m的值为___________7已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为_____________8已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为__________．9.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2

12、＋…＋a99的值为________10定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为函数f(x)的导函数．已知函数y＝f′(x)的图象如图2所示，两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则求的取值范围。11求在区间的最大值12.已知函数f(x)＝ax3＋bx2经过点M(1,4)，在点M处的切线恰与直线x＋9y＋5＝0垂直．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．13.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)

13、的单调区间.参考答案课前自测1、2、3、34、D5、例1解：设3(百万元)中技术改造投入为x(百万元)，广告费投入为3－x(百万元)，则广告收入带来的销售额增加值为－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，技述改造投入带来的销售额增加值为－x3＋2x2＋5x(百万元)，所以，投入带来的销售额增加值F(x)＝－2(3－x)2＋14(3－x)－x3＋2x2＋5x.由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候．整理上式得F(x)＝－x3＋3x＋24，因为F′(x)＝－x2＋3，令F′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去