你能证明它们吗(二)

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1、第一章证明（二）第一环节：提出问题，引入新课活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。第二环节：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”

2、的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：已知：如图，

3、在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．证法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．24∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)证法2：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．第三环节：经典例题变式练习活动内

4、容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图1—4的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。[生]在

5、等腰三角形ABC中，如果∠ABD=∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．又∵∠ABD=∠ABC,∴∠ACE=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE．在△BDC和△CEB中，∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)[生]如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=

6、∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：24在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB，就一定有BD=CE成立．[生]也可以更直接地说：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言．[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．由此我们得到了

7、一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．证明如下：∵AB=AC．又∵AD=AC，AE=AB，∴AD=AE．在△ADB和△AEC中，AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADB≌△AEC(SAS)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．[生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等

8、的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．第四环节：逆向思考，导出反证法活动过程与效果：教师：上面，