【SoCVista】Noble Identities

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1、NobleIdentityNobleIdentity是多采样率系统中最为常用的，用于将抽取器（或插值器）移动到合适的位置。如下图，以抽取器和FIR滤波器为例，证明一下Nobel变换的等价性，至于其他的情况可以类似得证。假设FIR滤波器H(z)为则H(z^M)为1)先滤波再抽取对x(n)用H(z^M)滤波后得到的中间值t(n)为再对t(n)进行M阶减采样，得2)先抽取再滤波对x(n)先进行M阶抽取得w(n)为再对w(n)用H(z)滤波------------------------------------------

2、----------比较y_1和y_2两个输出序列，完全一样，问题得证。%H(z)=1+2z^(-1)+3z^(-2)+4z^(-3)clearallclct=1:0.2:10;x=2*sin(t)./t;%---------------------先滤波后抽取b1=[1020304];a1=[1000000];y1=filter(b1,a1,x);y1=y1(2:2:end);%---------------------先抽取再滤波b2=[1234];a2=[1000];x=x(2:2:end);y2=filte

3、r(b2,a2,x);%---------------------比较两个输出subplot(2,1,1);stem(y1);title('y1');subplot(2,1,2);stem(y2);title('y2');抽取器的多相实现：图一、系统框图上图是一个典型抗混叠抽取的系统。输入x(n)数据量很多，而抽取后的输出y(n)却要少得多，如果直接采用上图的结构，H(z)所需的计算量将是非常大的。图二、直接实现这是直接实现，所需乘法次数是x(n)输入频率的N倍，加法次数是x(n)输入频率的N-1倍。图三、多相实现

4、这是低功耗的多相实现形式，与直接形式的区别是，将抽取器移动到每一个乘法器之前。证明：假设H(z)为FIR形式，首先看看直接形式中，x(n)经过H(z)滤波后的结果w(n)，如下对w(n)进行M阶抽取得到y1(n)为也就是y1(n)就是直接实现所得到的结果。下面再证明，其实y1(n)可以用多相结构实现，问题就解决了。仔细观察y1(n)的表达式，与b0相乘的只能是x(nM)，x(nM)是什么？x(nM)就是x(n)的M阶抽取啊，也就是同样的道理，与b1相乘的只能是x(nM-1)，而x(nM-1)正好是x(n-1)的M阶

5、抽取，也可以说成x(n)延迟一个单元后的M阶抽取其他单元也是这个道理，看最后一项，与bN-1相乘的只能是x(nM-(N-1))，也就是x(n)延时N-1个单元后进行M阶抽取，如下图这就是多相结构的来源了。。Matlab验证clearallclc%原始24阶firb=[0.81470.90580.12700.91340.63240.09750.27850.54690.95750.96490.15760.97060.95720.48540.80030.14190.42180.91570.79220.95950.6557

6、0.03570.84910.9340];%输入随机信号，3000点x=rand(1,3000);%延时x为24路%取Q个点来观察,Q<3000/6=500Q=30;xd=zeros(24,Q);fork=1:24t=x(k:6:end);xd(25-k,:)=t(1:Q);%取450个点来观察即可endw=repmat(b',1,Q).*xd;y2=sum(w);%原始滤波再抽取的结果y1=filter(b,[1,zeros(1,23)],x);y1=y1(24:6:end);y1=y1(1:Q);subplot(

7、2,1,1);stem(y1);title('y1');subplot(2,1,2);stem(y2);title('y2');disp(max(abs(y1-y2)))结果：y1为直接实现；y2为多相实现比较两个序列误差为3.5527e-015，，，其实可以认为y1和y2完全相等。