§7.4.4-5空间曲面和空间曲线 (二)

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1、§7.4.4锥面1．锥面的定义已知一条定曲线C及不在C上的一定点M，动直线L过点M沿C移动所形成的曲面称为锥面。动直线L称为锥面的母线，点M称为锥面的顶点。曲线C称为锥面的准线。2.锥面的的方程设锥面的准线的方程为其顶点为，则通过顶点和准线上的点的母线方程为，其中点是母线上的任意一点。当点在曲线C上移动时，点就是锥面上的点。因为是准线上的点，所以满足方程将它与母线方程联立，消去即得锥面的方程。若锥面方程是关于、、的二次式，则称之为二次锥面。例1．设锥面的顶点为坐标原点，准线是椭圆，求锥面的方程。解：过顶点和准线上的点的母线方

2、程为，即，，8其中是母线上的任意一点。∵点在准线上，∴，把，代入，得，即，这就是所求锥面（称为椭圆锥面）的方程。这是一个的二次齐次方程。当时，得，成为圆锥面方程。例2．求顶点为，准线为的锥面方程。解：设是准线上的任一点，则构成的直线所求锥面上，而直线，变换方程的形式为，，，将点代入准线方程得，①，②8由②得，代入①得：，，化简得锥面方程：。§7.4.5几个常见的二次曲面1.椭球面方程所确定的曲面称为椭球面。由方程知：即这说明椭球面介于六个平面，，所构成的长方体之内，叫做椭球面的半轴。下面用平行截痕法（即用平行于坐标面的不同平

3、面去截曲面）来研究椭球面的形状。（1）椭球面被三个坐标面所截得的曲线分别为椭圆：，，。（2）用平行于面的平面（）截椭球面，截得的曲线为8，即，当时，，上面方程可写成，它表示平面上的一个椭圆，长、短半轴分别为和。当逐渐增大时，所截得的椭圆逐渐缩小；当时，所截得的椭圆变成点（0，0，）。同样，可以用平行于其他坐标面的平面截此椭球面，并进行类似的讨论，这样，就可以画出椭球面的图形。2．单叶双曲面由方程或或所确定的曲面叫做单叶双曲面。这里只研究单叶双曲面的形状。用平行于面的平面去截它，截线总是一个椭圆：，它的顶点分别在和8平面上，但

4、是曲面分别在这两个平面上的截线却是双曲线：和，于是，单叶双曲面可以看作是由一个椭圆的变动产生的，这个椭圆的两对顶点分别在上述两条双曲线上运动，椭圆所在平面垂直于轴。单叶双曲面对称于每个坐标轴，每个坐标平面和原点。3．双叶双曲面由方程或或所确定的曲面称为双叶双曲面。下面只研究双叶双曲面的形状。（1）若y＝0，则得，故这个曲面和平面不相交。（2）用平行于面的平面去截它，当时，截线总是一个椭圆：它的两对顶点分别在和平面上，但是曲面分别在这两个坐标平面上的截线却是双曲线和。于是，双叶双曲面也可以看作是由一个椭圆的变动产生的，这个椭圆

5、的两对顶点分别在上述两条双曲线上运动，椭圆所在平面垂直于轴。8双叶双曲面对称于每个坐标轴，每个坐标平面和原点。4、椭圆抛物面由方程确定的曲面称为椭圆抛物面。（1）椭圆抛物面经过原点，且在面上方。（2）曲面上的点关于轴、和平面对称。（3）它与平面和平面的截线为抛物线：和（4）用平行于平面的平面（h>0）去截曲面，截线方程为，它是一个逐渐增大的椭圆。椭圆抛物面可以看作是由一个椭圆的变动产生的，这个椭圆的两对顶点分别在上述两条抛物线上运动，椭圆所在平面垂直于轴。5．双曲抛物面（马鞍面）由方程或或确定的曲面称为双曲抛物面。8当时，方

6、程通过将轴、轴在面上作的转轴后变形为。对方程的形状的讨论，请看教材。课堂练习：指出下列方程表示什么曲面？（1）旋转椭球面（2）双曲柱面（3）椭圆抛物面（4）旋转抛物面（5）单叶双曲面（6）圆锥面（7）椭圆柱面（8）抛物柱面（9）旋转双叶双曲面（10）双曲抛物面例2．求与平面成角，且过点的直线的轨迹。解：设为动直线上任一点，则动直线的方向向量为，8取轴上的单位向量。由题意可知与轴的夹角为，，而，故得，，化简得（旋转锥面）。§7.4.6曲面的参数方程若曲面点的坐标能表示成两个参数的函数：，则此方程组称为曲面参数方程。若能从方程组

7、中消去参数，则得曲面隐式方程：。例如，圆柱面的参数方程为球面的参数方程为8