组织行为学 ( 李培萱)

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1、第4章Burnside引理与Polya定理4.1群的概念14.2置换群14.3循环、奇循环与偶循环14.4Burnside引理24.5Polya定理34.6举例34.7母函数形式的Polya定理*4.8图的计数*4.9Polya定理的若干推广*1第四章贝恩塞特引理与波利亚定理一个田字格，用两种颜色染色，共有多少种方案？旋转能够重叠的算一种方案。2第四章贝恩塞特引理与波利亚定理C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C1634.1群的概念(a)封闭性:4.1.1群的定义:给定一个集合G={a,b,c,...}和集合G上的二元运算“•”,并

2、满足下列4个条件(b)满足结合律:(c)存在单位元素(d)存在逆元素称集合G在运算“•”之下是一个群,有时也称G是一个群,运算a•b简记为ab。4例4.1对于任意两个整数,当除以n的余数相等时,说他们是相等的,或modn相等.(a)封闭性成立除以n的余数只能是0,1,2,...,n-1(b)普通加法满足结合律(c)0是单位元素(d)对于任意aG,a+(n-a)=0modn集合G={0,1,2,...,n-1}对modn在加法下是一个群.n-a是a的逆。4.1群的概念5例4.2设R={00,900,1800,2700,}表示几何图形绕轴心顺时针旋转角度的4种状态,设“

3、•”是R上的二元运算,a•b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转状态,并规定旋转3600等于原来的状态，也就是没有旋转。证明集合A在运算“•”构成一个群。4.1群的概念090180270009018027090901802700180180270090270270090180(a)封闭性成立(b)结合律成立(c)0是单位元素(d)逆原素存在6有限群G的元素个数叫做群的阶，记作G当群的元素个数是有限时,称为有限群,当群的元素个数为无限时,称为无限群.若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba时,称G为交换群,或Abel群。有限群和无限群交换群4.1群的概念74.1.

4、2群的基本性质定理4.1群的单位元是唯一的4.1群的概念定理4.2ab=acb=c,ba=cab=c定理4.3G中每一个元素的逆元素是唯一的定理4.48定理4.5G是有限群,h=G,设G={a1,a2,...,ah},设a是G的任意元素,则必存在一个最小正整数r(a),使得ar(a)=e而且a-1=ar(a)-1证明:h是群G的阶G,aG,aar(a)-1=e,即a-1=ar(a)-1。构造:a,a2,...,ah,ah+1共h+1项,其中至少有两项相等,设am=an,m≠nar(a)=e,4.1群的概念设m>n取所有am=an,m≠n,m-n的最小值,

5、令m-n=r(a),9子群定义4.1设G是群,H是G的子集,若H在G的原来定义的运算下也构成群,则称H为群G的子群。例4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1}是G的一个子群证明：(1)封闭性成立。(2)结合律(3)单位元(4)逆元素4.1群的概念*****104.2置换群假定n个元素为1,2,3,...,n,并且若ij,aiaj,i,j=1,2,...,n若元素1被1到n中某一元素a1所取代,2被其中某一元素a2所取代，...,n被an所取代,置换的定义有限集合S到自身的一一对应称为S上

6、的一个置换。11说明：只要对应一样，就是同一个置换置换与表示方式或顺序无关4.2置换群12置换运算的定义4.2置换群13n个元素形成的置换集合在以上运算下形成一个群。(1)封闭性4.2置换群14(2)结合律4.2置换群15(3)单位元（恒等置换）(4)逆元素（逆映射）4.2置换群16例4.4圆圈上装有A,B,C三颗珠子,正好构成圆内接等边三角形ABC,(a)绕过圆心o垂直于圆平面的轴,沿反时针方向旋转0度,120度,240度;(b)沿过圆心o及A(或B或C)点的轴线翻转180度,经过(a),(b)变换A,B,C三颗珠子两两重合,但顶点交换了位置,经过以上变换形成的所有

7、置换构成群。用1代表A,2代表B,3代表C,ACB4.2置换群17ACB设A代以1,B代以2,C代以3,可得:3、单位元存在4、逆元素存在1、封闭性成立2、结合律成立4.2置换群18n个元素的置换的个数以及n个元素的置换群有n!个置换这n!个置换构成一个群,称为n个文字的对称群,记作Sn;任一n阶有限群都和一个n个文字的置换群同构。Sn的任一子群称为置换群;4.2置换群19群同构的定义设(G1,+),(G2,*)是群，如果存在一个一一对应：G1G2，使得a,bG1有(a+b)=(a)*(b)则称群G1与G2同构;4.2置换群0,1,2模