线面、面面垂直的判定习题课

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1、1.如果直线l与平面α内的直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作.直线l叫做，平面α叫做.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做.2.一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂直的，用符号表示为：aαbαa∩b=Ol⊥α.l⊥al⊥b任意一条l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足两条相交直线判定定理3.一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜

2、线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或，我们说它们所成的角是0°的角.垂直斜足锐角在平面内4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做.这条直线叫做，这两个半平面叫做.棱为l，面分别为α,β的二面角记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做.二面角的大小可以用它的来度量，二面角的

3、平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面.互相垂直二面角二面角的棱二面角的面二面角的平面角平面角直角5.一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的，用符号表示为：l⊥αlβα⊥β.判定定理垂线学点一线面垂直的判定如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.图2-4-2【分析】考查线面垂直的判定定理.【证明】取S

4、A的中点E，连接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC,∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E,∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE，返回目录∴SA⊥BC.又∵AD⊥BC,AD∩AS=A,∴BC⊥平面SAD.∵SH平面SAD，∴SH⊥BC.又∵SH⊥AD,AD∩BC=D,∴SH⊥平面ABC.【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过作辅助平面，找到所需要的另一条直线.在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD.求证：BD⊥AC.如图，取BD的中点K，连

5、接AK，CK.∵AB=AD,K为BD中点，∴AK⊥BD.同理CK⊥BD.∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.∵AC平面AKC，∴BD⊥AC.学点二直线与平面所成的角在正四面体A—BCD中，E为AD的中点，求CE与底面BCD所成角的正弦值.【分析】如图2-4-3所示，要求CE与底面BCD所成角的正弦值，首先要作出该角，其次应将其放在直角三角形内求解，所以应过E作底面的垂线.此时垂足所在位置特别关键.由A—BCD为正四面体，那么E在底面BCD的垂足必在∠BDC的角平分线上，连接CF，根据条件找出边长即可.图2-4-3

6、【解析】如图2-4-4所示，作AO⊥面BCD，O为垂足，连接DO并延长和BC交于G，则G为BC的中点.∴DG⊥BC.又AO⊥BC，∴BC⊥面ADG.作EF⊥DG,F为垂足，则BC⊥EF,∴EF⊥面BCD.连接FC，则∠ECF是斜线CE与平面BCD所成的角.图2-4-4设正四面体的棱长为a，则AO=.故EF=AO=.又CE=,∴sin∠ECF=.即CE与底面BCD所成角的正弦值为.【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是：在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而

7、作出斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大小，同时要注意其取值范围.在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是.（如图，连接MC，则∠OMC为所求.在Rt△OMC中，OM=OA，则tan∠OMC==.）2学点三面面垂直的判定如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC.【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关

8、键.【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD=a,又AD==a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.证法二：∵SA=SB