线面、面面垂直的判定习题课

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时间:2019-06-15

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1、1.如果直线l与平面α内的直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作.直线l叫做,平面α叫做.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做.2.一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂直的,用符号表示为:aαbαa∩b=Ol⊥α.l⊥al⊥b任意一条l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足两条相交直线判定定理3.一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜

2、线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或,我们说它们所成的角是0°的角.垂直斜足锐角在平面内4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做.这条直线叫做,这两个半平面叫做.棱为l,面分别为α,β的二面角记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做.二面角的大小可以用它的来度量,二面角的

3、平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是的二面角叫做直二面角.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面.互相垂直二面角二面角的棱二面角的面二面角的平面角平面角直角5.一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的,用符号表示为:l⊥αlβα⊥β.判定定理垂线学点一线面垂直的判定如图2-4-2所示,三棱锥S—ABC中,SB=AB,SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H,求证:SH⊥平面ABC.图2-4-2【分析】考查线面垂直的判定定理.【证明】取S

4、A的中点E,连接EC,EB.∵SB=AB,SC=AC,∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E,∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE,返回目录∴SA⊥BC.又∵AD⊥BC,AD∩AS=A,∴BC⊥平面SAD.∵SH平面SAD,∴SH⊥BC.又∵SH⊥AD,AD∩BC=D,∴SH⊥平面ABC.【评析】证明线面垂直,需先有线线垂直,抓住条件中两个等腰三角形共用一条边,抓住公共边的中点,通过作辅助平面,找到所需要的另一条直线.在空间四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD.求证:BD⊥AC.如图,取BD的中点K,连

5、接AK,CK.∵AB=AD,K为BD中点,∴AK⊥BD.同理CK⊥BD.∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.∵AC平面AKC,∴BD⊥AC.学点二直线与平面所成的角在正四面体A—BCD中,E为AD的中点,求CE与底面BCD所成角的正弦值.【分析】如图2-4-3所示,要求CE与底面BCD所成角的正弦值,首先要作出该角,其次应将其放在直角三角形内求解,所以应过E作底面的垂线.此时垂足所在位置特别关键.由A—BCD为正四面体,那么E在底面BCD的垂足必在∠BDC的角平分线上,连接CF,根据条件找出边长即可.图2-4-3

6、【解析】如图2-4-4所示,作AO⊥面BCD,O为垂足,连接DO并延长和BC交于G,则G为BC的中点.∴DG⊥BC.又AO⊥BC,∴BC⊥面ADG.作EF⊥DG,F为垂足,则BC⊥EF,∴EF⊥面BCD.连接FC,则∠ECF是斜线CE与平面BCD所成的角.图2-4-4设正四面体的棱长为a,则AO=.故EF=AO=.又CE=,∴sin∠ECF=.即CE与底面BCD所成角的正弦值为.【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是:在斜线上找一具有特殊性的点,过该点向平面作垂线,连接垂足和斜足,即为斜线在平面上的射影,进而

7、作出斜线与平面所成的角,再解直角三角形求出线面角的大小,同时要注意其取值范围.在三棱锥O—ABC中,三条棱OA,OB,OC两两互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB边的中点,则OM与平面ABC所成角的正切值是.(如图,连接MC,则∠OMC为所求.在Rt△OMC中,OM=OA,则tan∠OMC==.)2学点三面面垂直的判定如图1-10-3所示,过点S引三条不共面的直线,使∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,若截取SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面BSC.【分析】欲证面面垂直,需证线面垂直.故找出垂线是关

8、键.【证明】证法一:如图1-10-4所示,取BC的中点D,连接AD,SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC,∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中,SD=a,又AD==a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC,∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.证法二:∵SA=SB

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