线性规划与整数规划

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1、线性规划模型第一节线性规划模型一、线性规划及其数学模型1．线性规划问题在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，既如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效益。问题１拟定生产计划问题提出某公司生产炊事用具需要两种资源—劳动力和原材料，某公司计划生产三种不同产品，生产管理部门提供的数据如下：ＡＢＣ劳动力（小时／件）７３６原材料（千克／件）４４５利润（元／件）４２３每天可供应原材料为２００千克，每天可使用的劳动力为１５０小时，问如何安排生产计划，才能是公司总收益最大？模型建立设每天生产Ａ、Ｂ、Ｃ三种产品的件数分别为最大利润为则该问题就是在条件下，求利润

2、的最大值。问题２运输问题问题的提出两个煤炭厂每月进煤分别为60t和100t，联合供应三个居民区三个居民区每月对煤的需求量依次为50t、70t、40t，煤厂离居民区的距离分别为10km、5km、6km，煤厂离居民区的距离分别为4km、8km、12km，如何分配供煤量才能使总运输量达到最小？模型建立设表示煤厂提供给居民区的煤量，表示总运输量，则所求问题就是在条件下，求总运输量的最小值。２．线性规划问题的特点和数学模型从以上两个实例可以看出，它们都属于一类优化问题，其共同特点是：（１）所给问题都用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量的取是

3、非负的；（２）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示；（３）都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量的线性函数来表示，这个函数称为目标函数。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划问题的数学模型，其一般形式为：目标函数：约束条件：3.线性规划模型的标准型实际问题的线性规划模型是多种多样的，在多种多样的模型中，可规定一种形式为标准型，以便于研究和求解。（1）线性规划模型的标准型如果在线性规划模型中，有n个决策变量m个约束条件，约束条件为等式约束，决策变量非负，求目标函数的最小值，这种线性规划模型就叫

4、做标准型。其表达式为：在标准型中，规定否则等式两端乘以“-1”，其矩阵形式为：其中，称为约束条件的系数矩阵，一般有称为价值向量；向量称为资源向量；称为决策向量；为零向量。（2）任意一线性规划模型都可以化为标准型若原模型要求目标函数实现最大化，即则即目标函数可化为这就与标准型的目标函数一致了。若原模型中的约束条件为不等式，有两种情况：①若原模型中的约束条件为不等式：左端右端，则在左端加上“非负松弛变量”使不等式化为等式：左端+非负松弛变量=右端。②若原模型中的约束条件为不等式：左端右端，则在左端减去“非负松弛变量”使不等式化为等式：左端-非负松弛变量=右端。例1将问题1的

5、模型化为标准型。二、应用举例1．食谱问题问题提出　一饲养场饲养供实验用的动物，已知动物的生长对饲料中的三种营养成分：蛋白质、矿物质和维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质７０克，矿物质３克，维生素１０毫克。该场能买到５种饲料，各种饲料每千克的成本及所含营养成分如下表所示，请确定既能满足动物需要，又使总成本最低的饲料配方。饲料成本（元）蛋白质（克）矿物质（克）维生素（克）0.20.300.100.050.72.000.050.100.41.000.020.020.30.600.200.200.51.800.050.08设每个动物每天食用的混合饲料中所含的第种饲料的数量

6、为千克，混合饲料的总成本为z,则上述问题的数学模型为２．连续投资问题问题提出　某部门在今后五年内考虑给下列四个项目投资，项目Ａ，从第一年到第四年年初需要投资，并于次年末回收本利的115%；Ｂ项目，第三年年初需要投资，到第五年年末能回收本利125%，但规定最大投资不超过４万元；Ｃ项目，第二年年初需要投资，到第五年年末能回收本利140%，但规定最大投资不超过３万元；项目Ｄ，五年内每年年初购买公债，于当年末归还，并加利息6%。该部门现有资金10万元，问如何分配这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资金的本利总额最大？问题分析（１）五年中每年年初该部门拥有的资金是变化的，设表示

7、第i年年初给第j项项目的投资额，显然（２）该部门每年的投资额等于部门年初所拥有的资金，下面分年度讨论：第一年，年初拥有资金１０万元，所以有第二年，年初拥有资金仅为项目Ｄ在第一年末回收的本息所以有第三年，年初拥有资金为所以有第四年，年初拥有资金为所以有第五年，年初拥有资金为所以有又，由题意知目标函数：模型建立将上述分析整理，可得此问题的数学模型为：3.下料问题问题的提出计划做100套钢架,每套用长为2.9米、2.1米、1.5米的圆钢各一根。设原材料长7.4米，问如何下料，才能使所用原料最少？分析最简单的做法是在每一根原料上截取三种长度不同的