整数线性规划

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1、整数规划(IntegerProgramming)王广民中国地质大学经济管理学院wgm97@163.com1、概述整数规划（IntegerProgramming，简记IP)主要是指整数线性规划,是近二、三十年来发展起来的数学规划当中的一个重要分支，讨论整数规划对研究管理问题有重要意义，比如项目投资问题、人员分配问题等都可以化为一个整数规划问题（因为如人员分配等的一些问题显然不可能出现小数或者分数的情况）,可分为：纯整数规划（所有变量都限制为整数）混合整数规划（一部分变量限制为整数）0-1规划（所有变量的取值都限制为0或1）一、整数规划问题及其数学模型所谓整数规划是

2、指具有下列模型的线性规划问题其中A矩阵、b、c向量中所有的元素数都是整数或有理数.(1)、模型阐述2、整数规划问题的模型其实，如果不考虑（IP）问题中“X是整数”的条件，则整数规划问题仍可看成一个一般的线性规划（LP）问题：称为该整数规划问题的松弛问题(slackProblem).(2)、整数规划的例子例投资问题设某公司在m个时段里有n项投资计划，由于资金限制不能全部进行。已知1、第i个时段里该公司可动用的资金是bi，2、第j项投资计划所需要的资金是aij,能够得到的利润是cij。问该公司如何选择投资计划，使m个时段内的总利润最大.解：设xij表示在第i个时段内

3、对第j个投资计划的决策变量即当xij=1时，表示第i个时段内选中并执行第j个投资计划，当xij=0时，表示第i时段内未选中第j个投资计划.因此,可以建立该投资问题的数学模型为：例工作分配问题设某单位现有n个人员A1,A2……An来完成n项工作B1,B2,…Bn。按工作要求，每个人员需干一项工作，每项工作也需一人去完成。已知人员Ai做工作Bj的效率是cij。问应如何分配，才使总效率最好.解：令xij表示对人员Ai完成工作Bj的决策变量即xij=1表示分配Ai干工作Bj，xij=0表示不分配Ai干工作Bj。按问题要求，建立该问题的数学模型为：线性规划（LP）的任一整

4、数可行解都是整数规划（IP）的一个可行解，显然（IP）的所有解（包括可行解）对应于（LP）的整数可行解。当（LP）的最优解不是一个整数解时，一般情况下不可以通过对非整数解进行“四舍五入”、“凑整法”得出（IP）问题的最优解。整数线性规划及其松弛问题，从解的特点上来说，二者之间既有密切的联系，又有本质的区别.进一步地，如果（LP）的最优解是一个整数解，那么，这个解也一定是（IP）问题的最优解。一般情况下，（LP）的最优解不会恰好是一个整数解，自然就不是（IP）的最优解，（IP）的最优值不会优于（LP）的最优值.3、关于整数规划的解例如：求下列整数规划的最优解解：在

5、先不考虑“x1,x2是整数”的条件下，对相应的线性规划问题易由图解法得出最优解是：X=（3.25,2.5）通过凑整法，可以得出4种组合(4,3),(4,2),(3,3),(3,2)。(4,3),(4,2),(3,3)都不是可行解，(3,2)虽是可行解，但不是最优解满足问题的整数最优解是(4,1)，最优值是14。而最优解(4,1)并不是相应线性规划的可行域的顶点。结论：直接利用图解法（或者甚至利用单纯形法）无法直接找出整数规划的最优解。1、求解思路割平面法是求解整数规划的最早提出的一个方法。基本思想是：首先利用单纯形法（或者其它方法）求解整数规划的松弛线性规划；经

6、过判断，如果达不到变量的整数条件，则针对某一个非整变量增加特定割平面，把LP问题中对该变量的非整数部分给去除掉，保留了全部有整数解的部分，同时经过切割后的可行域其凸性质不改变。逐次反复上面的过程，只要整数规划问题有最优整数解，则必定可以在经过若干次的切割后的凸可行域的顶点中找到最优解。二、Gomory割平面法割平面法在1958年由高莫瑞(R.E.Gomory)首先提出，故又称Gomory割平面法。在割平面法中．每次增加的用于“切割”的线性约束称为割平面约束或Gomory约束。构造割平面约束的方法很多，介绍最常用的一种，它可以从相应线性规划的最终单纯形表中直接产生

7、。实际解题时，经验表明若从最优单纯形表中选择具有最大小(分)数部分的非整分量所在行构造割平面约束，往往可以提高“切割”效果，减少“切割”次数。(1)、如果要求目标的最大值令其中效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极小化问题4、几点说明(2)、如果分配问题中，人员数m不等于工作数n时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的方法，增加虚拟人员或虚拟工作。当m>n时，由于虚拟工作无须人员去做，对于极小化问题，可设其的效率为0；对于极大化问题，可设其效率是一个充分大的正数M。当m

8、是一种隐枚举法或部分枚举