线性系统能观性能控性判定

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1、第3章控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。本章的内容为：1.引言——能控性、能观测性的基本概念2.能控性及其判据3.能观测性及其判据4.离散系统的能控性和能观测性5.对偶原理6.能控标准形和能观测标准形7.能控性、能观测性与传递函数的关系8.系统的结构分解9.实现问题10.使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性3.1引言首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。例3-1电路如下图所示。如果选取电容两端的电压为状态变量，即：。电桥平衡时，不论输入电压如何改变，不随着的变化而改变，或者说状态变量不

2、受的控制。即：该电路的状态是不能控的。显然，当电桥不平衡时，该电路的状态是能控的。例3-2电路如下图所示，如果选择电容C1、C2两端的电压为状态变量，即：，，电路的输出为C2上的电压，即，则电路的系统方程为如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统状态方程的解为可见，不论加入什么样的输入信号，总是有一般情况下，系统方程可以表示为（1）状态能控与否，不仅取决于B阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。系统状态转移矩阵为系统能观测问题是研究测量输出变量y去确定状态变量的问题。例3-3电路如下图所示。选取为输入量，为输出量，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为系统状态方程的解为为了简便起见，令

3、则从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出仅仅取决于其差值。当，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y既无直接关系，又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A有关。一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取决于C阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。3.2能控性及其判据3.2.1线性定常系统的能控性及其判据1.能控性定义线性定常系统的状态方程为（2）给定系统一个初始状态，如果在的有限时间区间内，存在容许控制，使，则称系统状态在时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系

4、统是状态完全能控的。说明：1）初始状态是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）2）如果在有限时间区间内，存在容许控制，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态，则称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。（3）5）当系统中存在不依赖于的确定性干扰时，不会改变系统的能控性。（4）2.能控性判据定理3-1（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要

5、条件是下面的n×n维格拉姆矩阵满秩（5）（证明参见教材84页）（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理3-2（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的n×nr维能控性矩阵满秩。（6）（7）证明应用凯-哈定理，有上式代入（3）式（8）于是（9）如果系统能控，必能够从（9）式中解得，，…，。这样就要求（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）定理3-3（PBH判别法）（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是，对A的所有特征值，都有（10）（证明略）（可以应用定理3-2证明，详见教材87页）（11）定理3-4（2）

6、式的线性定常系统的矩阵A的特征值互异，将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵则系统能控的充分必要条件是矩阵中不包含元素全为零的行。例3-6有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解根据定理3-4，系统（1）不能控；系统（2）能控。且，，定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵A具有重特征值，、、、…、分别为重、重、重、…、重。经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能控的充分必要条件是矩阵中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。（12）例3-7有如下两个线性定常系统，判断其能控性。（1）（2）解根据定理3-5，系统（1）能控；系统（2）不能控（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以

7、判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。3.2.2线性时变系统的能控性判据（13）线性时变系统的状态方程为定理3-6状态在时刻能控的充分必要条件是存在一个有限