管理决策分析第三章效用函数

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1、第三章效用函数广西大学数学与信息科学学院运筹管理系§3.1理性行为公理问题：某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在市场看好的情况下，可以获利10万；在市场前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较差的概率分别为0.6和0.4，是否推出该新产品？若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产品更好？这是一个随机决策问题。§3.1理性行为公理在随机决策中，决策系统（Ω，A，F）中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。在本章中，我们用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比

2、较，并引入效用的概念，用以衡量事态体（行动方案）的优劣。§3.1理性行为公理3.1.1事态体及其关系1．事态体的概念定义3.1具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体即随机性状态空间中的行动方案。1．事态体的概念设某事态体的n个可能结果为：o1,o2,…,on各结果出现的概率是相应为：p1,p2,…,pn则该事态体记为：T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）特别当n＝2时，称T为简单事态体，此时T＝（p,o1；1－p,o2）1．事态体的概念事态体可以用树

3、形图表示如下：Tp1p2︰︰︰pno1o2︰︰︰on当n＝2时：pT1-po1o2事态体集合Ŧ的性质①在凸线性组合下，Ŧ是闭集。即：若T1∈Ŧ，T2∈Ŧ，则当0≤λ≤1时，有λT1＋(1－λ)T2∈Ŧ两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。②T＝(0,o1；0,o2；…；1,oj；…；0,on)∈Ŧ称T为退化事态体。退化事态体仍属于事态体集合。2．事态体的比较定义3.2设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者偏好，o1和o2有如下关系：①若偏好结果值o1，则称o1优于o2，记作o1o2；反之，称o1劣于o2

4、，记作o1o2。②若对结果值o1,o2无所偏好，则称o1无差异于o2，记作o1～o2。③若不偏好结果值o1，则称o1不优于o2，记作o1≼o2；反之，称o1不劣于o2，记作o1≽o2。2．事态体的比较定义3.3设两个简单事态体T1，T2具有相同的结果值o1，o2，即：T1＝（p1,o1；1－p1,o2）T2＝（p2,o1；1－p2,o2）并假定o1o2，则：①若p1＝p2，称事态体T1无差异于T2，记作T1～T2。②若p1＞p2，称事态体T1优于T2，记作T1T2；反之，称事态体T1劣于T2，记作T1T2。2．事态体的

5、比较定义3.4设两个简单事态体T1，T2仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即：T1＝（p1,o1；1－p1,o0）T2＝（p2,o2；1－p2,o0）且o2o1o0，①若p1≤p2，则事态体T2优于T1，记作T2T1。②若T1～T2，则必有p1＞p2。§3.1理性行为公理3.1.2理性行为公理公理3.l（连通性，可比性）事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是连通的。即若T1，T2∈Ŧ则或者T1T2，或者T2T1，或者T1～T2，三者必居其一。表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！§3.1理性行为公理3.1.2理性

6、行为公理公理3.2（传递性）事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是传递的。即若T1、T2、T3∈Ŧ，且T1T2，T2T3，则必有T1T3。表示任意多个事态体的优劣是可以排序的（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）满足公理3.1和公理3.2的事态体集合称为全序集。§3.1理性行为公理3.1.2理性行为公理公理3.3（复合保序性，替代性）若T1，T2，Q∈Ŧ，且0＜p＜1，则T1T2当且仅当pT1＋(1－p)QpT2＋(1－p)Q。表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。§3.1理性行为公

7、理3.1.2理性行为公理公理3.4（相对有序性，连续性，偏好的有界性）若T1，T2，T3∈Ŧ，且T1T2T3则存在数p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得：pT1＋(1－p)T3T2qT1＋(1－q)T3表示任意事态体都不是无限优，也不是无限劣。§3.1理性行为公理3.1.3事态体的基本性质性质3.1设事态体T1＝（p,o1；1－p,o0）T2＝（x,o2；1－x,o0）且o1o0，o2o0，若o2o1则存在x=p’＜p使得T1～T2称x为可调概率值。§3.1理性行为公理3.1.3事态体的基本性质性质3.2（确定当

8、量和无差异概率）设事态体T＝（x,o1；1－x,o2）且o1o2。则对于满足优劣关系o1oξo2的任意结果值oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得T＝（p,o1；1－p,o2）～oξ称结果值oξ为事态体T的确定当量，称p为oξ关于o1与o2的无差异概率。3.1.3事态体