四边形中的最值问题

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1、四边形中的最值问题(专项训练)教学目标：1、通过本节课对几个典例的分析、解答，使同学们掌握解决特殊四边形中最值问题的解决策略。2、通过分析题目中的已知条件并得出解决最值问题的一般策略，提高同学们分析问题解决问题的能力。教学重点：对题目中已知条件中动点、动线段的分析，最终得出解决最值问题的理论依据是“俩点之间线段最短”、“垂线段最短”。教学难点：引导学生得出解决四边形中最值问题的策略是：将动点、动线段转化成定点、定线段，再利用与最值有关的定理进行解答。教学过程：一、复习引课师：学习了这么多四边形的问题，那自然也少不了一类经典题目—最值问题。最值问题题目中总存

2、在一些动点、动线段，我们得想办法把它们转化成定点、定线段，再利用与最值有关的定理解答。那么最值有关的定理都有哪些呢？生：俩点之间线段最短、垂线段最短。师：对，谈到最值问题那自然也少不了一类经典题目——将军饮马类问题，这节课我们就一起来研究几道与最值有关的问题。二、典例讲解n例1：如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，∠BAD=1200，P为BD上一动点，求PE+PC的最小值.分析：题目中告诉P为BD上一动点，C为菱形的一个顶点、E为BC边的中点，那么PC、PE就是俩条动线段，我们如果把BD想象成一条河，而C、E俩点在BD的同侧，这时候它就是一个典

3、型的将军饮马问题，我们得作C或E关于BD的对称点，而题目中告诉四边形ABCD是菱形，那么BD本身就是它的一条对称轴，C的对称点就是A点，这时候我们再连接AE于BD交于一点即为P点的位置。那么PC与PE和的最小值就是线段AE的长。我们由题易知三角形ABC为等边三角形，根据“三线合一”的性质可知AE垂直BC，则利用勾股定理或三角函数我们可以计算出AE的长。强调：1、利用菱形本身的对称性；2、理论依据：俩点之间线段最短。随练：如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG。则CG的最小值为多少？（学生小组讨论、

4、交流完成）例2：如图，在△ABC中，∠BAC=90，AB=6，AC=8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为多少？分析：题目中告诉P为BC上一个动点，以PA、PC为边的四边形是平行四边形，那么PQ、AC就是对角线，它们互相平分，那么求PQ的最小值只需要求出它的一半PO的最小值即可，而O点为一个定点，P为BC上一个动点，我们利用垂线段最短即可解答。过O作BC边的垂线，垂足为P，再利用三角形相似对应边成比例即可解答。强调：1、将问题中的变量转化成定量；2、理论依据：垂线段最短。随练：已知:如图,M是

5、线段BC的中点,BC=4,分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM，等边△MCD，连接AD，将△MDC绕点M逆时针方向旋转α（600<α<1200），得到△MD'C',MD'交AB于点E,MC'交AD于点F，连接EF,（1）求证：EF∥D'C'；（2）求△AEF的周长的最小值。（学生交流、讨论完成）三、课时小结解决四边形中最值问题的策略就是：将题目中的动点、动线段转化成定点、定线段，再利用与四边形有关的定理“俩点之间线段最短、垂线段最短”等进行解答。