数学建模讲稿(整理)

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1、§2人口模型问题提出：据考证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年。纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿。经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿，又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年之后，在1960年，人口总数为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿，12年之后即1987年，人口已达50亿。自然会问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。2.1Malthus模型：1789年，英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了Malthus模型。模型假设：（i）设表示

2、时刻的人口数，且连续可微。（ii）人口的增长率是常数（增长率=出生率—死亡率）。（iii）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。建模与求解：时刻到时刻人口的增量为。于是得（14）其解为(15)模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为，在1961～1970年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为2%，则（15）式可写为(16)根据1700～1961年间世界人口统计数据，这些数据与（16）式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每35年增加1倍，而（16）式算出每34.6年增加

3、1倍。但是，当人们用（15）式对1790年以来的美国人口进行检验，发现有很大差异。利用（16）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当年时，，即4400万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少20人。显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率的估计过高。2.3阻滞增长模型（Logistic模型）：如何对增长率进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时，我们可以把增长率看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视为一个随着人

4、口的增加而减小的量，即将增长率表示为人口的函数，且为的减函数。模型假设：（i）设为的线性函数，。（ii）自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为，即当时，增长率。建模与求解：由假设（i），（ii）可得，则有（17）（17）式是一个可分离变量的方程，其解为(18)模型检验：由（17）式，计算可得(19)人口总数有如下规律：（i），即无论人口初值如何，人口总数以为极限。（ii）当时，，这说明是单调增加的，由（19）式知：当时，，为凹，当时，，为凸。（iii）人口变化率在时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，经过这一点之后，生长速率会逐渐变小，最终达到零。与Malthus模

5、型一样，代入一些实际数据进行验算，若取1790年为，，，可以看出，直到1930年，计算结果与实际数据都能较好地吻合，在1930年之后，计算与实际偏差较大。原因之一是60年代的实际人口已经突破了假设的极限人口，由此可知，本模型的缺点之一就是不易确定。2.4模型推广：从另一个角度导出阻滞增长模型，在Malthus模型上增加一个竞争项，它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时较小；反之较大，故建立方程（20）其解为(21)由（21）式，(22)对(20)~(22)式进行分析，有：（i）对任意，有，且；（ii）当时，，递增；当时，；当时，，

6、递减。（iii）当时，，为凹，当时，，为凸。令（20）式第一个方程的右边为0，得，，称它们是微分方程（20）的平衡解。易知，故又称是（20）式的稳定平衡解。可预测：不论人口开始的数量为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在。参数和可以通过已知数据利用Matlab中的非线性回归命令nlinfit求得。§3战争模型第一次世界大战期间，F.W.Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中包括作战双方均为正规部队；作战双方均为游击队；作战的一方为正规部队，另一方为游击队。后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和

7、1975年的越南战争。影响战争胜负的因素有很多，兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。士兵的数量会随着战争的进行而减少，这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘，也可能是因为疾病与开小差。分别称之为战斗减员与非战斗减员。士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加。从某种意义上来说，当战争结束时，如果一方的士兵人数为零，那么另一方就取得了胜利。如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？比如如何描述增加士兵数量与提高士兵素质之间的关系。3.1