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1、第三章灰色系统理论与建模一、灰色系统理论基础1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989年海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检
2、索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。灰色系统理论基础二、几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确
3、定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。几种不确定方法的比较概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。三、灰色系统建模邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种
4、研究少数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。（一）、数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。设参考数据为，计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖内，则数列可以作为模型的数据进行灰色预测。（二）、建立GM(1,1)模型的一般过程（数
5、据预处理）累加生成。设为原始序列对进行一次累加生成，得生成序列其中,GM(1,1)模型的一般过程（建立模型）2.建模。由构造背景值序列其中，一般取=0.5,建立白化方程(影子方程)为称之为GM(1,1)模型的原始形式GM(1,1)模型的一般过程这里，符号GM(1,1)的含义如下：GM（1，1）GreyModel1阶方程1个变量将上式离散化，微分变差分，得到GM(1,1)微分方程如下：称之为GM(1,1)模型的基本形式。GM(1,1)模型的一般过程（求解参数）其中a,b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量,a的有效区间是(-2,
6、1)。3.求解参数。应用最小二乘法可经下式得：其中,GM(1,1)模型的一般过程（建立预测模型）4.建立预测公式GM(1,1)模型的一般过程（模型检验）5.检验模型(1)求出与之残差，相对误差求出原始数据平均值,残差平均值:GM(1,1)模型的一般过程（模型检验）(2)求出原始数据方差与残差方差的均方差比值C和小误差概率p:当，，时，模型精度为一级。当发展系数时,则所建GM(1,1)模型则可用于中长期预测。GM(1,1)模型的一般过程精度检验等级参照表相对误差关联度均方差比值小误差概率一级二级三级四级0.010.050.100.2
7、00.900.800.700.600.350.500.650.800.950.800.700.60级比偏差检验(3)级比偏差值检验据数据预处理中的级比和a求出级比偏差如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高要求。例题设原始序列为：试用GM(1,1)模型对进行模拟。第一步对作一阶累加第二步对作紧邻均值生成。令得于是，第三步对参数列进行最小二乘估计。得第四步确定模型及时间相应式第五步求的模拟值第六步还原求出的模拟值得第七步检验误差。残差平方和平均相对误差误差检验表序号实际数据模拟数据残差相对误差12343.2783.3373.
8、3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%残差修正GM(1,1)若用修正则称修正后的时间响应式为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM
