金融数学模型-华东理工大学数学建模

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1、第八章　金融数学模型8.1保险的需求模型8.2资产组合选择模型8.3资本资产定价模型8.4企业负债的合理确定模型7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模以前总是假定消费者或生产者的决策所产生的结果是肯定而唯一的。然而这一点假设是非常脱离实际的。如，农场主的产量不仅取决于他投入多少资本、土地和劳动，而且取决于今后一年中的气候状况，这是农场主无法把握的。在许多情况下，经济决策人只能预见到自己的行为会带来那几种可能结果，以及每一种结果出现的可能性。这就是在结果不确定的情况下经济人的最优决策问题。保险的需求

2、模型7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模个人对待风险的态度：在现实中，可以观察到两种现象：有些人为了减少未来收入和财富的不确定性而到保险公司投保；而另一些人却为了增加生活中的不确定性而进行赌博。∴在世界各地，保险公司与跑马场一样生意兴隆。对待风险的态度（风险偏好）：人的类型参加的赌博类型是否投保风险规避者（Riskevader）只参加有利的赌博投保风险中立者(Riskneutral)可能参加公平的赌博肯定参加有利的赌博无所谓风险爱好者(Risklover)即使不利的赌博也参加不投保7/18/20

3、21东华理工学院数信学院信息技术系数学建模如，这种赌博：90%的可能赢1万元，10%的可能输10元，这种赌博的预期收益为：1万元×90%+（－10元）×10%=8，999元远远高于不参加赌博的预期收益：零。那么，很少有人会拒绝这种赌博。公平赌博：指预期收益为零或胜负各参半的赌博；如：1万元×50%+（-1万元）×50%=0（元）有利赌博：指预期收益大于零或赢的可能性超过一半的赌博。“公平”的保险费率正好与损失发生的概率相等。7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模预期效用及其函数：人们对不确定情况下

4、的收入或消费也应当有一种偏好顺序，如，人们偏好“90%的可能赢1万元，10%的可能输1千元。”胜过“60%的可能赢1万元，40%的可能性输100元。”90%×（1万元）+10%×（－1000元）=8,900（元）60%×（1万元）+40%×（－100元）=5,960（元）那么，如何来排列这种偏好顺序呢？最方便的方法就是按“预期效用”（ExpectedUtility）的大小来排序。（7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模预期效用：取决于各种情况出现的概率和相应的概率下可享用的收入或消费的效用。如，若

5、未来可能出现两种状态，状态1和状态2，两种状态出现的概率分别为和即只有这两种可能性。C1和C2分别代表状态1和状态2下的收入或消费，那么预期效用函数：EU=。其中U(C1)和U(C2)为一般的效用函数。预期效用函数EU称为“冯·诺伊曼—摩根斯坦效用函数”（VonNeunaun——MorgensternUtilityFunction），以本世纪美国著名数学家冯·诺伊曼和经济学家奥·摩根斯坦名字命名的，他们两人在数学博奕论领域作出了杰出贡献。7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模若消费者一般的效用函数

6、为U=LnC则，预期效用函数为：EU=lLnC1+2LnC2若U=C，则预期效用函数为：EU=此时，预期效用等于期望值。一般地若可能出现n种状态,每一种壮态出现的概率为预期效用函数为：EU=EU=7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模保险市场：风险规避者必定会参加保险，但没有说明他会投保多少金额，假设他面临损失10,000元的风险，那么，他会向保险公司投保10,000元的金额，并缴纳相应的保险费，还是投保15,000元或5,000元金额？这与保险费率的高低以及人们对风险的厌恶程度有关。假定您现在拥

7、有的财产为W，您面临损失L的可能性（如遭窃、失火、生病、住院等），发生损失的可能性为,保险费率为r，即您需要支付rk来购买一张金额（最高赔偿额）为K的保险单。损失没有发生的情况为第1种状态，1状态您拥有的财产为C1C1=W-rK7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模因为无论损失发生与否，保险费是不退回的。损失不幸发生了，为第2种状态，此时，您能从保险公司得到金额为K的赔偿，您拥有的财富为C2=W-L-rK+K2状态发生的概率为，1状态出现的概率为1-。从保险公司的角度来考察，二状态出现，保险公司需

8、支付保险费K；一状态出现，保险公司没有任何支出。但无论那种状态出现，保险公司总能收入保险费rk，假设没有许多人（如10万人）投保，各人之间遭受损失是相互独立的，则保险公司从每个投保人身上可得的预期利润：7/18/2021东华理工学院数信学院信息技术系数学建模即若投保人数n足够大，保险公司的平均利润将接近n从保险公司来看，只要收支能平衡，它就愿意经营这项保险业