2016美国建模A赛题答案

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1、2012年美国大学生数学建模A题---如何计算树上树叶的重量1．摘要众所周知，树的叶片在光合作用中起到的重要作用，它是用来与外界交换信息的重要场所。不同的树有不同类型的树叶。相同的树木，我们提出了分类的想法，然后建立样品分类为不同类型的树叶，树叶的不同类型的聚类分析模型是相似的。然后得到的样品在同一种树，我们可以得到不同类型的叶片生长的信息。因此，可以知道阳光会影响叶片的分布是如何的。自然界中的大多数物体都可以利用分型所描述，分型，是由美国数学家BBMandelbort首次提出的，已经被用来描述肺，肾，血管

2、，花卉，海浪和云彩。树是相似分形最常见的例子之一。从树的树枝树干，各分支的结构与树的整体结构是相似的。它还回答了这个问题,树的轮廓与分支结构,是通过测量树的树干直径、长度和分支的角度来确定的，也可以是能够建立结构模型。所以建立两个分形模型，构造出一树的分形结构。可以计算模拟树的树干和分行。使用假设的方法，假设生长在外面的树枝、树叶，树的个别分支的重量是可以测量，我们可以计算出整个树的叶片重量的近似值，当得到树叶的重量，我们可以联系树的高度，质量和数量。我们建立了比较不同样本的叶形为基础的模型来描绘树叶形状和

3、树的外形的相关性。关键词：分型，聚类分析，线性回归，树叶的重量，树叶形状2．问题概述“树叶有多重？”怎么估计树叶的实际重量？如何分类树叶？建立了一个数学模型来描述和分类的树叶。考虑并回答下列问题：-19-·树叶为什么有各种形状？·形状的“最小化”投影重叠，以便有最大限度地阳光照射吗？树叶及其分支机构在“量”的分布效应的形状？·说到树叶的轮廓，是树叶的形状/分支结构吗？·你将如何估计树叶质量？树叶的质量和树的大小特点之间有关系吗？3．模型假设假设1：树结构的分形特征。详细模式复制从树木的分支然后到叶脉。假设2

4、：树叶的质量大致确定由最外层枝叶（即是最好的分支机构），内叶的整体质量几乎没有影响。假设3：树干直径定期更换。主干直径与不同点的位置密切相关，。假设4：本地分型和整个树的形状满足自相似性的特点。假设5：每片树叶的形状是轴对称的。假设6：在实验中测得的数据是实际和有效的。4．符号D树干的直径M躯干的长度P在一定的高度，树干的直径，作为一个直径-高度函数α在父分支（或主干）及其支行之间的长度减少的因素(Xi,Yi)叶片的边缘点该点(Xi,Yi)到对称轴的距离an维向量和Xi作为一个组成部分R向量a的系数AV标准

5、化模数的向量aR1树的指标R2树叶的指标5．术语分形：一个粗略的或小几何形状可分为几部分,每一部分是降低整体形状,这是自相似的形状。准自相似或统计自相似。-19-图1：曼德拉博设置图2：分形树直径缩小率：树干直径下降，从根到尖。直径缩小率是用来描述直径减少的因素，作为一个函数的底部的距离。长度减少率：其树枝和它的分支长度减少的因素。聚类分析：指将物理或抽象对象的集合分组成为由类似的对象组成的多个类的分析过程。它是一种重要的人类行为。聚类分析的目标就是在相似的基础上收集数据来分类。6.分析6.1为什么树叶有不

6、同的形状6.1.1叶脉直接决定树叶的形状和大小各不相同是植物区系的主要特点显着。一些几何术语，如椭圆形（椭圆形），椭圆（椭圆）或钻石（菱形），已经由植物学家介绍，描述各叶的形状。千姿百态的树叶外表特征不同。叶脉可以揭示植物的大量信息。例如，打开植物叶片上的洞（即“叶孔”），以吸收更多的二氧化碳，进行光合作用，树叶会失去蒸腾水的数量（这个与天气和气候因素密切相关）。这个过程需要很多导管来运输水，这意味着需要大量较大的叶脉。另一个例子是，如果一种植物不断需要大量的水，这将为叶脉的特殊几何分布奠定了基础，即整个叶

7、片的形状。因此，它是树叶的最主要的部分，确定它们是否是古典枫叶或刀片柳树叶形状或其他的叶脉。在一般情况下，叶脉决定一切叶片，包括提供给树叶的支持，抵抗侵略，运送营养，甚至帮助传递化学信号（植物在这方面，像动物的神经叶脉）。6.1.2基因决定众所周知，树分支的形象是一个典型的分形结构，分支配置重新出现在规模较小的分支。叶脉，树枝，整个树的结构是类似的。植物形态多样性由先天或遗传控制决定；因此，叶脉纹理的参数，如分枝的数目，分枝角度，减少的幅度，和迭代次数的参数，可以用来确定树-19-分析剖面的资料。树分形的轮

8、廓，主要是由基因决定。6.1.3环境的影响然而，它也可以受到环境因素的影响。例如，同一品种在不同环境中可能有不同的叶型，亚麻叶的形状受到太阳光线的影响。（如图3所示）热带树的树叶比那些从寒冷气候的树叶更可能是圆，厚，平滑的边缘。在干旱条件下的植物的树叶一般都比较小，针状，以维持水植物失水，因为90％是通过叶片蒸发。其中在同一棵树上的树叶，顶端的树叶与在底部或内部的相比会更小，由于更多的太阳光线照射的树冠的是形状。