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1、【例2.29】设为阶可逆矩阵，且，证明的伴随矩阵【证】因为为阶可逆矩阵所以【例2.30】设为阶方阵，证明：【证】由公式,有,又，所以(1)若,则，于是,即，（2）若,则(若不然,则矛盾！)当时，,于是,故,因此小结从例2.28~2.30可看出，凡涉及的命题在证明过程中经常要借助于公式：.【例2.31】设矩阵的元素均为整数，证明：的元素均为整数【证】“”,因为与的元素均为整数，所以与均为整数，故“”因为的元素均为整数，所以伴随矩阵的元素均为整数，又，故的元素均为整数。【例2.32】设矩阵可逆，且的每行元素之和均等于常
2、数，试证：（1）（2）的每行元素之和都等于【证】（1），若，则，这与可逆即矛盾，故（2）令因为，所以于是，即。又，所以，故。题型九关于矩阵秩的命题的证明（Ⅰ）关于矩阵秩的不等式的证明【点拨】思路之一：通常是通过矩阵的初等变换化为矩阵最简型，再进行分析思路之二：利用分块矩阵的乘法，结合齐次方程组进行分析【例2.33】设均为阶方阵，证明：【证】设，则有于是,令，则又可知任一矩阵每减少一行（或列）其秩减少不超过1，而故【例2.34】设则,【证】设则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵,使，同理存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使于是，，令
3、则故【例2.35】设与均为阶方阵，若,则【证】设矩阵的列向量为，则由分块矩阵的乘法有于是可见的列向量是齐次现行方程组的解设，则此方程组的基础解系所含向量的个数为个于是向量组的秩，即，故（Ⅱ）关于矩阵秩等式的证明【证明思路】【例2.36】设均为阶方阵，,为阶单位阵，证明：【证】因为所以（*）又,所以（**）由（*）（**）得自我练习：设为阶方阵，且,为阶单位阵，则【例2.37】已知,为阶非零矩阵，且满足,则时，的秩必为1时，的秩必为2时，的秩必为1时，的秩必为2【解】因为均为三阶方阵，又所以当时，的秩，于是当时，于是
4、又(P为三阶非零方阵)，故,入选习题二1.填空题（1）设均为四维列向量，,且,则(1)若对任意的矩阵，均有,则(2)设为阶方阵，存在非零的矩阵，使得的充分必要条件是______(3)设为阶矩阵，则存在两个不相等的阶矩阵使得的充分条件是_______(4)(1)设矩阵则(2)若阶矩阵满足方程则(3)设,则(4)设矩阵,则(5)设矩阵则的逆矩阵1.选择题（1）设为同阶可逆矩阵，则存在可逆矩阵使得存在可逆矩阵，使得存在可逆矩阵使得(2)设都是阶可逆矩阵，则等于(3)设均为阶方阵，下面结论正确的是若均可逆，则可逆若均可逆，
5、则可逆若可逆，则可逆若可逆，则均可逆（4）设为阶方阵，且,下列正确的是对阶方阵，若，则对阶方阵,若,则对阶方阵,若，则由相同的特征值对任意非零向量，都有(5)设维向量，矩阵,其中为阶单位矩阵，则0(6)设设有，则(7)设为阶可逆矩阵，则等于（8）设阶矩阵非奇异，是矩阵的伴随矩阵，则(9)设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则与的关系依而定（10）设，都是阶非零矩阵，且，则和的秩必有一个等于零都小于一个小于，一个等于都等于1.计算证明题（1）设求①;②;③（2）求下列矩阵的逆矩阵①②③④（1）已知三阶矩阵
6、满足，其中，试求矩阵（4）取什么值时，矩阵可逆，并求其逆（5）设为阶方阵，且有自然数，使得，则可逆（6）设为可逆矩阵，是与同阶的方阵，且满足,证明和都是可逆矩阵（7）设，都是阶方阵，且可逆，则也可逆且(8)设，是阶方阵，已知可逆，且,求证可逆（9）设，，为阶正交矩阵，试证：(10)设，为阶方阵，试证明(11)设为主对角线上元素均为0的四阶实对称可逆矩阵，为四阶单位矩阵①试计算,并指出中元素满足什么条件时，可逆②当可逆时，试证明为对称矩阵（12）计算下列各题①②（13）设，求（14）假设为阶可逆矩阵，证明①②;③;④
7、(15)是阶方阵，满足,其中为正整数，为阶单位矩阵，令将中个元素用其代数余子式代替，得到的矩阵记为，证明（16）设矩阵①证明：时，(E为三阶单位矩阵；①求（17）当时，，求（18）已知为阶方阵，且满足与试证(19)设，均为阶矩阵，如果,求证(20)设为阶非奇异矩阵为维列向量，为常数，记分块矩阵①计算并化简②证明：矩阵可逆的充要条件是习题二参考答案1.填空题（1）56（2）0（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.选择题3计算证明题（1）①②③（2）①②③④⑤（1）当时可逆，（2）因与可交换，且能证明可
8、用二项式定理展为,令,有，所以可逆，且(6)(7)(8)(9)(10)均略（11）①，当时，为可逆矩阵②,由于，都是对称矩阵，也是对称矩阵，故也是对称矩阵（12）①②（13）（14）略（15）由已知，则为可逆矩阵，故(16)略（17）因为,所以,友有(18)略（19）略（20）利用第三章向量3.1基本概念一、向量的概念和运算1.向量的概念个实数组成的有序数组
