5 二次函数与一元二次方程

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1、二次函数与一元二次方程教学设计教学目标(一)教学知识点1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．(二)能力训练要求1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识．(三)情感与价

2、值观要求1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学方法讨论探索法．教具准备投影片二张第一张：(记作§2．8．1A)第二张：(记作§2．8．1B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们学习

3、了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．Ⅱ．讲授新课一、例题讲解投影片：(§2．8．1A)我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其

4、中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．[师]请大家先发表自己的看法，然后再解答．[生](1)h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0．把v0，h0代入上式即可求出h与t的关系式．(2)小球落地时h为0，所以只要令h＝－5t2＋v0t＋h．中的h为0，求出t即可．还可以观察图象得到．[师]很好．能写出步骤吗？[

5、生]解：(1)∵h＝－5t2＋v0t＋h0，当v0＝40，h0＝0时，h＝－5t2＋40t．(2)从图象上看可知t＝8时，小球落地或者令h＝0，得：－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0．∴t(t－8)＝0．∴t＝0或t＝8．t＝0时是小球没抛时的时间，t＝8是小球落地时的时间．二、议一议投影片：(§2．8．1B)二次函数①y＝x2＋2x，②y＝x2－2x＋1，③y＝x2－2x＋2的图象如下图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？解方程验证一下：一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c

6、的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？[师]还请大家先讨论后解答．[生](1)二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象与x轴分别有两个交点，一个交点，没有交点．(2)一元二次方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；方程x2－2x＋1＝0有两个相等的根1或一个根1；方程x2－2x＋2＝0没有实数根．(3)从观察图象和讨论中可知，二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有两个交点，交点的坐标分别为(0，0)，(－2，0)，方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有一个交点，交点坐标为(1，0)，方

7、程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根(或一个根)1；二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点，方程x2－2x＋2＝0没有实数根．由此可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．[师]大家总结得非常棒．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．三、想一