2015年考研数学二模拟试题2

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1、模拟考场（四）考生注意：（１）本试卷共２３大题，满分１５０分．（２）根据国家标准，试卷中的正切函数、余切函数、反正切函数、反余切函数分别用ｔａｎ狓、ｃｏｔ狓、ａｒｃｔａｎ狓和ａｒｃｃｏｔ狓表示．一、选择题（本题共８小题，每小题４分，满分３２分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（１）下列结论正确的是（Ａ）若狌＝（狓）在狓处可导，而狔＝犳（狌）在狌（狓）处不可导，则复合函数φ００＝φ０狔＝犳［φ（狓）］在狓０处一定不可导．（Ｂ）若狌＝（狓）在狓处不可导，而狔＝犳（狌）在狌（狓）处可导，则复合函数φ００＝φ０狔

2、＝犳［φ（狓）］在狓０处一定不可导．（Ｃ）若狌＝（狓）在狓处可导，而狔＝犳（狌）在狌（狓）处可导，则复合函数φ００＝φ０狔＝犳［φ（狓）］在狓０处一定可导．（Ｄ）若狌＝（狓）在狓处不可导，而狔＝犳（狌）在狌（狓）处不可导，则复合函数φ００＝φ０狔＝犳［φ（狓）］在狓０处一定不可导．【】（２）设犳（狓）是以犜为周期的可微函数，则在下列函数中以犜为周期的函数是狓狓（Ａ）２（狋）ｄ狋．犳（狋）ｄ狋．（Ｂ）犳∫０∫０狓狓（Ｃ）［犳′（狋）］２ｄ狋．（Ｄ）犳（狋）犳′（狋）ｄ狋．【】∫０∫０（３）设函数犳（狓）在狓＝狓的某邻域内连续，在狓＝狓处可导，则函数犳（狓

3、）狘犳（狓）狘在狓＝００狓０处（Ａ）可导，且导数为２犳（狓）犳′（狓）．（Ｂ）可导，且导数为２犳（狓）狘犳′（狓）狘．００００（Ｃ）可导，且导数为２狘犳（狓）狘犳′（狓）．（Ｄ）可导，且导数为２狘犳（狓）犳′（狓）狘．００００【】（狀）（４）设函数犳（狓）有狀阶导数，且有２狀个极值点（狀为正整数），则方程犳（狓）＝０至少有（Ａ）狀－１个实根．（Ｂ）狀个实根．（Ｃ）狀＋１个实根．（Ｄ）狀＋２个实根．【】（５）设函数犳（狓）在（－∞，＋∞）存在二阶导数，且犳（狓）＝－犳（－狓），当狓＜０时有犳′＜０，犳″＞０，则当狓＞０时，有：（Ａ）犳′（狓）＜０，犳″（

4、狓）＞０．（Ｂ）犳′（狓）＞０，犳″（狓）＜０．（Ｃ）犳′（狓）＞０，犳″（狓）＞０．（Ｄ）犳′（狓）＜０，犳″（狓）＜０．【】（６）设犳（狓，狔）连续，且犳（狓，狔）＝狓狔＋２，狓＝１围犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔，其中犇由狔＝０，狔＝狓犇成，则犳（狓，狔）等于１９考研数学模拟考场１５套（数学二）１（Ａ）狓狔．（Ｂ）２狓狔．（Ｃ）狓狔＋．（Ｄ）狓狔＋１．８【】（７）设犃为犿×狀矩阵，且狉（犃）＝犿＜狀．则下列命题中不正确的是（Ａ）犃ＴＴ狓＝０只有零解．（Ｂ）犃犃狓＝０有无穷多解．（Ｃ）犫，犃Ｔ狓＝犫有唯一解．（Ｄ）犫，犃狓＝犫有无穷多解．【】（８）设犃

5、，犅都是狀阶实对称矩阵，且都正定，那么犃犅是（Ａ）实对称矩阵（Ｂ）正定矩阵（Ｃ）可逆矩阵（Ｄ）正交矩阵【】二、填空题（本题共６小题，每小题４分，满分２４分．把答案填在题中横线上）２ｓｉｎ狓ｌｎ（１＋狋）ｄ狋（９）ｌｉｍ∫０２２＝．狓→０ｅ２狓狓－２ｅ＋１（１０）设犳（狓，狔）为连续函数，且犳（狓，狔）＝狓２，则犳（狓，狔）＝犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔＋狔２２２狓＋狔≤犪．（１１）方程狓狔″＋狔′＝４狓的通解为狔＝．狔（１２）设犳（狓）为连续函数，且狓２＋狔２＋狕２＝犳（狓＋狔－狋）ｄ狋，则狕（狕＋狕）＝．∫狓狓狔（１３）设狔（狓）是二阶常系数微分方

6、程狔″＋狆狔′＋狇狔＝ｓｉｎ２狓＋２ｅ狓满足初始条件狔（０）＝ｌｎ（１＋狔（狓））狔′（０）＝０的特解，则当狓→０时，函数２的极限为．狓（１４）设狀阶方阵犃、犅相似，犃２＝２犈，则行列式狘犃犅＋犃－犅－犈狘＝．三、解答题（本题共９小题，满分９４分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）．（１５）（本题满分１０分）ππ求对数螺线θ在（，θ）＝ｅ２，处的切线的直角坐标方程．ρ＝ｅρ（２）２０考研数学模拟考场１５套·模拟考场（四）（１６）（本题满分１１分）１狓犳（狓）设函数犳（狓）在点狓＝０的某个邻域内有连续的二阶导数，且ｌｉｍ［１＋狓＋］＝狓→０狓１狓ｅ３

7、，求极限ｌｉｍ［１＋犳（狓）］及二阶导数犳″（０）．狓→０狓（１７）（本题满分１０分）在盛满水的圆锥形容器中放入一个铁球，使铁球与容器的壁相切．已知该容器的上底半径为犚＝３槡３，高为犺＝９．问：当铁球的半径狉多大时，溢出的水最多？２１考研数学模拟考场１５套（数学二）（１８）（本题满分１０分）狓１２－狔＋２狔（狓－１）２设犳（狓）＝ｅｄ狔，求犳（狓）ｄ狓．∫０∫０（１９）（本题满分１１分）犫犪＋犫设犳（狓）在［犪，犫］上二阶可导，且犳″（狓）＞０，试证明犳（狓）ｄ狓≥（犫－犪）犳（）．∫犪２２２考研数学模拟考场１５套·模拟考场（四）（２０）（本题满分１０

8、分）有一在原点处与狓轴相切并在第一象限的光滑曲线，犘（狓，狔）为曲线上的任一点．设曲线在原点与