考研数学二模拟373

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1、模拟试卷(七)一、选择题下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设数列xn与yn满足=0，则下列断言正确的是______．A．若xn发散，则yn必发散B．若xn无界，则yn必有界C．若xwn有界，则yn必为无穷小D．若为无穷小，则yn必为无穷小2．若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则______．A．a=0，b=-2B．a=1，b=-3C．a=-3，b=1D．a=-1，b=-13．设函数f(x)=记F(x)=，0≤x≤2，则______．4．设函数f(x，y)连续

2、，则二次积分(x，y)dy等于______．5．设函数f(x)满足关系式f"(x)+f'(x)]2=x，且f'(0)=0，则______．A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点6．设f(x)处处可导，则______．7．曲线y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为______．A．0B．1C．2D．38．设f(x)=x2(x-1)(x-2)，则f'(x)的零点个数为______．A．0

3、B．1C．2D．3二、填空题：9～14小题，请将答案写在指定位置上.9．10．设函数y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为______．11．12．已知，则13．微分方程(y+x3)dx-2xdy=0满足y｜x=1=的特解为______．14．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是______．三、解答题：15～23小题．请将解答写在指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求极限16．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满

4、足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导．求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．17．设F(x2-1)=ln，且f[φ(x)]=lnx，求∫[φ(x)]=lnx,求∫φ(x)dx.18．求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y｜x=e=1的特解．19．已知A，B为3阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E．其中E是3阶单位矩阵；(1)证明：矩阵A-2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．20．已知向量组与向量组具有相同的

5、秩，且β3可由α1，α2,α3线性表示，求a，b的值.21．设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解．并求出其通解．22．设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．23．利用导数证明：当x＞1时，有不等式成立．参考答案与解析一、选择题1．[考点提示]数列极限．[解题分析]本题可采取举反例的方法一一排除干扰项，即设xn=sinn，yn=，则yn收敛，=0．从而可排除A．设xn=yn=显然xn无界且

6、满足=0，但是yn并非无穷小，从而B，C也不对．综上，只有D成立．关于D的正确性的证明如下：所以为无穷小时，yn亦为无穷小．所以选D．2．[考点提示]曲线切线．[解题分析]两曲线在一点相切，说明在此点两函数的导数相等，且两函数均经过此点．由题设知，这两条曲线均过点(1，-1)，且在此点的斜率相等，即-1=1+a+b．由于对第一条曲线有对于第二条曲线有即有2+a=1，由此可解得a=-1，b=-1．故应选D．3．[考点提示]分段函数的积分．[解题分析]被积函数f(x)为分段函数，根据积分的可加性对x分段讨论，然后分别求积分．当0≤x

7、≤1时，F(x)=当1＜x≤2时，F(x)=所以故应选B．[评注]分段函数的积分，应根据积分的可加性分段进行计算．4．[考点提示]积分坐标变换．[解题分析]由二次积分(x,y)dy的积分上、下限，可知积分区域为的反函数为x=π-arcsiny，则上述区域等价于所以积分变换为故应选B．5．[考点提示]极值点、拐点．[解题分析]本题考查极值点及拐点的充分必要条件．由已知f'(0)=0及关系式f"(x)+[f'(x)]2=x,则x=0是f(x)的驻点，但还不能确定是否为极值点．在已知关系式中令x=0，则f"(0)=0，至此也无法确定x

8、=0点是否为拐点，还需对f"(0)作进一步分析．将原关系式对x求导，得从而(0)=1＞0，且由(x)的连续性(由其表达式所决定)知存在δ＞0，使x∈(-δ，δ)时，(x)＞0，即在此小邻域内．f"(x)严格单调递增，从而f"(x)在x=0左、右异号，即f"(x)