第八章分离变数法数学物理方法梁昆淼

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1、第八章分离变数法1.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。解：可分为三种情况讨论：1)，解为，由边界条件只能得到平庸解，显然没有意义。----------------(3分)2)，解为，代入边界条件得，于是为任意常数。----------------(2分)3)，解为,代入边界条件得a)当的取值使得时，必有，这和上两种情况一样没有意义。b)当的取值使得时，不必为零，这种是有意义的情况。此时由得到本征值:综合2）和3）两种情况得本征值此时，本征解为----------------(5分)1.2.已知复

2、变量函数为解析函数，其实部满足下面的条件，(1)试给出所满足的数学物理定解问题；(2)试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解；(3)根据求出虚部。3.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。(本小题11分)解：(1)由题意，对于常微分方程：(1)(2)现在先求解，对三种情况进行讨论：a)，由(1)式的解是积分常数，，由(2)决定，即，由此得出，而。无实际意义，即无可能性。（3分）b)，式(1)的解是则根据(2)式，有，即为任意数此时。（3分）c)，由

3、(1)解是则由(2)式，有，，由此有且或者和因，时，无实际意义。因此，只能有和由同时我们可以得到的表达式：(3)（4分）对应的本征函数为：（1分）4.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。5.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。解：可分为三种情况讨论：1)，微分方程解为，由得，由得，得，得到平庸解，显然没有意义。----------------(3分)2)，解为，代入边界条件得，也得到平庸解，没有意义。----------------(2分)1

4、)，解为,代入边界条件得a)当的取值使得时，必有，这和上两种情况一样没有意义。b)当的取值使得时，不必为零，这种是有意义的情况。此时由得到本征值:此时，本征解为----------------(5分)